Bài 11 (trang 104 SGK Toán 9 Tập 1) Cho đường tròn (O) đường kính $AB$, dây $CD$ không cắt đường kính $AB$. Gọi $H$ và $K$ theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ $A$ và $B$ đến $CD$. Chứng minh rằng $CH= DK$. Gợi ý. Kẻ $OM$ vuông góc với $CD$.
Xin chào cả nhà, mình đang làm một dự án và vướng mắc một vấn đề nan giải. Bạn nào có thể đóng góp ý kiến để giúp mình vượt qua không?

Để chứng minh $CH=DK$, ta có thể chứng minh $\triangle AHC \cong \triangle BDK$ (theo điều kiện phẳng đẳng thức).

Phương pháp 1:
- Ta có $\angle AMC = 90^\circ$ (do $AM$ vuông góc $CD$)
- $\angle ACH = \angle ADK$ (cùng là góc phân giác)
- $\angle AHC = 90^\circ - \angle AMC = \angle BDK$
Vậy, $\triangle AHC \sim \triangle BDK$ (theo góc)

Phương pháp 2:
- Ta có $AH=AK$ (cùng là bán kính đường tròn)
- $AM=BM$ (cùng là đường cao của tam giác vuông)
- $CH=DK$ (do $\triangle AHC$ cùng $\triangle BDK$ đều vuông và cạnh huyền bằng bán kính đường tròn)
Vậy, $\triangle AHC \cong \triangle BDK$ (theo góc - cạnh - cạnh)

Do đó, ta chứng minh được $CH=DK$.

{
"Câu trả lời 1": "Gọi E là giao điểm của $OH$ và $AB$, ta có $OE = \frac{AE}{2}$ và $EH = AH - AO = AH - R$. Tương tự, gọi F là giao điểm của $OK$ và $AB$, ta có $OF = \frac{BF}{2}$ và $FK = BK - BO = BK - R$. Vì $AB \parallel CD$, nên $EF \parallel AB$, suy ra $\frac{AOE}{AHE} = \frac{AOF}{FK}$. Từ đó suy ra $AH - R = R - BK$",
"Câu trả lời 2": "Gọi M là trung điểm của $AB$, ta có $OM$ vuông góc $CD$. Khi đó, $AHOM$ và $BKOM$ là hình thoi, từ đó $CH = OH = OM = MK = DK$.",
"Câu trả lời 3": "Ta có $AH^2 = AO^2 + OH^2$ và $BK^2 = BO^2 + OK^2$. Do đó, $AH^2 - BK^2 = AO^2 + OH^2 - BO^2 - OK^2 = R^2 - R^2 = 0$. Vậy $AH = BK$",
"Câu trả lời 4": "Gọi I là trung điểm của $CD$, ta có $OH$ song song $IK$. Do đó, $OH = IK$. Từ đó suy ra $CH = OH = IK = DK$.",
"Câu trả lời 5": "Kẻ $OL$ vuông góc $AB$ tại L. Ta có $AHOL$ và $BKOL$ là hình chữ nhật, từ đó $CH = HL = OL = LK = DK$.",
"Câu trả lời 6": "Xét tam giác $AHO$ và tam giác $BKO$, ta có $AO = BO$ (bán kính đường tròn), $OH = OK$ (vì $OH \parallel CD$), $AH = BK$ (vì vuông góc). Do đó, $AHO$ và $BKO$ đồng dạng. Từ đó suy ra $CH = DK$."
}