Bài 5: Cho A ABC vuông tại A (AB < AC) có AH là đường cao của AABC. Gọi E, F, M lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC. a) Trên tia đối của tia FH lấy điểm N sao cho F là trung điểm của HN. Chứng minh: Tứ giác AHCN hình chữ nhật. b) Trên tia đối của tia EM lấy điểm D sao cho ME=DE. Chứng minh: Tứ giác ADBM hình thoi. c) Chứng minh: HE L HF
Xin chào mọi người, mình đang bí câu trả lời cho một vấn đề khó nhằn này. Bạn nào có thể giúp mình với được không?

Để giải bài toán trên, ta sử dụng hai kiến thức sau:

1) Trong tam giác vuông, đường cao chia tam giác thành hai tam giác vuông cân.

2) Trên đường thẳng, hai điểm đối xứng qua một điểm nằm giữa chúng.

a) Ta có đường cao AH chia tam giác ABC thành hai tam giác vuông cân AHM và AHN. Vì F là trung điểm của HM, theo kiến thức 2), ta có tứ giác AHCN là hình chữ nhật.

b) Gọi G là trung điểm của AD. Ta có MG là đường trung trực của AB nên G thuộc đường trung trực của AB. Vì đường trung trực của AB đi qua E và G, theo kiến thức 2), ta có D thuộc đường trung trực của AB.

Xét tam giác GMA, vì MG = MA (G là trung điểm của AD) và MA = MB (tam giác ABC vuông tại A), nên tam giác GMA là tam giác cân.

Vì M là trung điểm của AC, nên điểm trên trung trực của AC cũng là trung điểm của AC, do đó MD là đường trung trực của AC.

Vậy tam giác ADM cũng là tam giác cân.

Do đó, tứ giác ADBM là tứ giác hình thoi.

c) Ta dùng kiến thức 2) như trên, vì M là trung điểm của AC và EM là tia đối của tia FM, nên H là trung điểm của EF.

Vậy ta có HE = HF.

c) Ta có EH ║ GD (vì EH ║ BC và GD ║ BC là tia đối của tia GD). Vì EM là trung điểm của AC và DE = ME, nên DE ║ AC và theo định lý song song ta có GD ║ AC. Vậy EH ║ GD. Tương tự, ta có HF ║ GD. Vậy HE = HF.

b) Vì E là trung điểm của AB, nên EM ║ AB. Ta có tứ giác AEMB là tứ giác có 2 cạnh bằng nhau và 2 cặp góc kề nhau bằng nhau nên là hình thoi.

a) Ta có AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC tại M. Từ đây suy ra góc AMH = 90 độ. Gọi K là giao điểm của FH và AC. Ta có góc AKH cũng bằng 90 độ. Vậy K nằm trên đường trung tuyến CM (do AH là đường cao, nên H nằm trên CM và AH chia CM làm hai phân đoạn bằng nhau). Vì F là trung điểm của AC, nên KM = KC. Ta cũng có góc MKC = góc MCK = 90 độ. Vậy KM = KC và MK ║ AC. Do đó tứ giác AHCN là hình chữ nhật.

a) Gọi G là giao điểm của tia AC với đường thẳng qua B song song với DM. Ta có GB ║ DM (vì AB ║ DM và BG ║ AC). Vì EM là trung điểm của AC, nên theo định lý Tam giác vuông, EG = GM, và do đó GM ║ EH. Với cùng lý do, GF ║ FM. Vậy tứ giác AHCN là hình chữ nhật vì có 4 góc vuông và các cạnh hai đường chéo AC và HN bằng nhau.