Cho \(P=1+5^0+5^1+5^2+5^3+...+5^{100}\) .Hỏi P có phải số chính phương hay không? Vì sao?
Chào cả nhà, mình đang gặp một chút vấn đề khó khăn, Bạn nào biết có thể giúp mình giải đáp câu hỏi này được không ạ?

Cách giải:

Bước 1: Tính giá trị của P

Ta thấy rằng mỗi số hạng trong dãy 5^0, 5^1, 5^2, 5^3,... đều là lũy thừa của số 5. Đặt n = 100, ta có:

\(P = 1 + 5^0 + 5^1 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^{100}\)
\(P = 1 + 5^0 + 5^1 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^{99} + 5^{100}\)
\(P = 1 + 5(5^0 + 5^1 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^{99}) + 5^{100}\)
\(P = 1 + 5(1 + 5^1 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^{98} + 5^{99}) + 5^{100}\)

Bước 2: Dùng công thức tổng cấp số nhân

Để tính tổng các số hạng trong dãy 1 + a + a^2 + a^3 + ... + a^n, với a ≠ 1, ta dùng công thức:
\(S = \frac{{a^{n+1} - 1}}{{a - 1}}\)

Áp dụng công thức trên, ta được:

\(P = 1 + 5(1 + 5^1 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^{98} + 5^{99}) + 5^{100}\)
\(P = 1 + 5 \cdot \frac{{5^{100} - 1}}{{5 - 1}} + 5^{100}\)
\(P = 1 + 5 \cdot \frac{{5^{100} - 1}}{{4}} + 5^{100}\)
\(P = \frac{{4 + 5 \cdot (5^{100} - 1) + 4 \cdot 5^{100}}}{{4}}\)

Bước 3: Kiểm tra P có phải số chính phương hay không

Để kiểm tra P có phải số chính phương hay không, ta có thể tính căn bậc hai của P. Nếu kết quả là một số nguyên, thì P là số chính phương.

Trả lời: Dựa vào công thức và tính toán trên, ta không thể xác định được P có phải số chính phương hay không mà cần tính toán kết quả của căn bậc hai của P để kiểm tra.

Ta có thể chứng minh P không phải là số chính phương bằng cách chứng minh rằng P không chia hết cho một số nguyên tích cực khác 1. Để làm điều này, ta có thể chứng minh rằng P chia hết cho 5 - 1 = 4 mà không chia hết cho 2^2 = 4.
Tổng số hạng P có thể được viết lại thành P = 1 + (5^0 + 5^4) + (5^1 + 5^5) + (5^2 + 5^6) + ... + (5^98 + 5^102) + 5^99.
Từ công thức tổng cấp số cộng, ta có thể nhận thấy rằng mỗi cặp số hạng trong dấu ngoặc có tổng chia hết cho 5 - 1 = 4.
Vì vậy, P chia hết cho 4 nhưng không chia hết cho 2^2 = 4, điều này chứng minh được rằng P không phải là số chính phương.

Ta có thể tính tổng P bằng cách sử dụng công thức tổng cấp số cộng: S = a * (1 - r^n) / (1 - r), trong đó a là số hạng đầu tiên, r là công bội và n là số lượng số hạng.
Trong trường hợp này, a = 1, r = 5 và n = 101 (tổng số số hạng từ 0 đến 100).
Thay vào công thức, ta tính được tổng P = 1 * (1 - 5^101) / (1 - 5) = (1 - 5^101) / -4.
Để kiểm tra xem P có phải số chính phương hay không, ta cần kiểm tra căn bậc hai của P có phải là một số nguyên hay không. Nếu căn bậc hai của P là một số nguyên, thì P là một số chính phương, ngược lại thì không phải.
Vì P đang là một biểu thức lớn và phức tạp, việc tính căn bậc hai của nó sẽ khó khăn. Do đó, để đưa ra kết luận, ta cần sử dụng công cụ tính toán để tính giá trị chính xác của P, sau đó kiểm tra căn bậc hai của P. Nếu căn bậc hai của P là một số nguyên thì P là số chính phương, ngược lại thì không phải.

Để phân biệt giữa cây lương thực, cây thực phẩm và cây công nghiệp, bạn có thể sử dụng các phương pháp sau:

1. Quan sát ngoại hình và ý nghĩa sử dụng của cây:
- Cây lương thực: Đây là những cây được trồng chủ yếu để làm thức ăn cho con người. Các loại cây lương thực thường có hạt, hột, hoặc cành lá được sử dụng để sản xuất thực phẩm, bột mì, gạo, ngũ cốc, gia vị, vv.
- Cây thực phẩm: Đây là những cây được trồng nhằm cung cấp thực phẩm cho con người, nhưng có phạm vi sử dụng hẹp hơn so với cây lương thực. Chúng có thể là cây trồng thường xuyên trong bữa ăn hàng ngày, như rau, quả, hạt, củ, vv.
- Cây công nghiệp: Đây là những cây được trồng để lấy các sản phẩm công nghiệp như gỗ, sợi, dầu, nhựa, giấy, vv. Cây công nghiệp thường có kích thước lớn, tán lá rộng, và thời gian trồng trải dài.

2. Kiểm tra thông tin về công năng và sử dụng của cây:
- Cây lương thực: Thông tin về việc sử dụng các loại cây này để sản xuất thực phẩm cho con người sẽ giúp bạn xác định được cây lương thực.
- Cây thực phẩm: Các tài liệu, sách vở, hoặc nghiên cứu về việc sử dụng các loại cây này trong ẩm thực, dinh dưỡng sẽ giúp bạn nhận biết cây thực phẩm.
- Cây công nghiệp: Thông tin về việc sử dụng các loại cây này để sản xuất các nguyên liệu công nghiệp hoặc sản phẩm công nghiệp có thể giúp bạn phân biệt cây công nghiệp.

Câu trả lời cho câu hỏi "Phân biệt cây lương thực, cây thực phẩm và cây công nghiệp" có thể như sau:

- Cây lương thực là những cây được trồng chủ yếu để sản xuất thực phẩm cho con người. Chúng có hạt, hột, hoặc cành lá được sử dụng để sản xuất thực phẩm như gạo, ngũ cốc, bột mì, gia vị, vv.
- Cây thực phẩm là những cây được trồng nhằm cung cấp thực phẩm cho con người, nhưng có phạm vi sử dụng hẹp hơn so với cây lương thực. Chúng thường là loại cây trồng thường xuyên trong bữa ăn hàng ngày, như rau, quả, hạt, củ, vv.
- Cây công nghiệp là những cây được trồng để lấy các sản phẩm công nghiệp như gỗ, sợi, dầu, nhựa, giấy, vv. Chúng thường có kích thước lớn, tán lá rộng và thời gian trồng trải dài.