Tìm m để 3 điểm A(2;-1), B(1;1) và C(3;m+1) thẳng hàng
Mọi người ơi, mình đang vướng mắc một vấn đề lớn, Mọi người có thể giúp mình tìm câu trả lời được không? Mình biết ơn Mọi người rất nhiều!

Trả lời chi tiết câu hỏi "Tìm m để 3 điểm A(2;-1), B(1;1) và C(3;m+1) thẳng hàng":

Cách 1: Sử dụng công thức tính độ dài hai điểm và tỷ số cắt của một điểm trên một đoạn thẳng:
- Đối với đường thẳng AB:
+ Độ dài AB = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] = √[(1 - 2)² + (1 - (-1))²] = √[(-1)² + 2²] = √[1 + 4] = √5
+ Tỷ số cắt của C trên AB = [(m+1 - (-1)) / (3 - 2)] = (m + 2) ÷ 1 = m + 2
- Đối với đường thẳng AC:
+ Độ dài AC = √[(x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)²] = √[(3 - 2)² + ((m + 1) - (-1))²] = √[1² + (m + 1 + 1)²] = √[1 + (m + 2)²] = √[1 + m² + 4m + 4]
- Do 3 điểm A, B và C thẳng hàng nên tỷ số cắt của C trên AC bằng tỷ số cắt của C trên AB:
⇒ m + 2 = √[1 + m² + 4m + 4] / √5
⇒ (m + 2)√5 = √[1 + m² + 4m + 4]
⇒ 5(m² + 4m + 4) = 1 + m² + 4m + 4
⇒ 5m² + 20m + 20 = 1 + m² + 4m + 4
⇒ 4m² + 16m + 15 = 0
⇒ m² + 4m + 3.75 = 0
- Giải phương trình bậc hai này, ta có m = -0.75 hoặc m = -3.

Cách 2: Sử dụng quy tắc xác định tính thẳng hàng của 3 điểm:
- Tính vectơ BA và vectơ BC:
+ Vectơ BA = (x₂ - x₁) i + (y₂ - y₁) j = (1 - 2) i + (1 - (-1)) j = (-1) i + 2 j
+ Vectơ BC = (x₃ - x₂) i + (y₃ - y₂) j = (3 - 1) i + (m + 1 - 1) j = 2 i + m j
- Để 3 điểm A, B và C thẳng hàng, ta phải có điều kiện Vectơ BA và Vectơ BC song song:
⇒ (-1) i + 2 j // 2 i + m j
⇒ (-1) / 2 = 2 / m
⇒ -m = 4
⇒ m = -4.

Cách 3: Sử dụng công thức hình thang cân:
- Đường thẳng AB song song với đường thẳng AC nếu và chỉ nếu đường thẳng AB cắt đường thẳng đi qua C tại một điểm ở vô cùng.
- Đường thẳng AB cắt đường thẳng đi qua C tại một điểm ở vô cùng nếu và chỉ nếu tam giác ABC là tam giác hình thang cân.
- Tam giác ABC là tam giác hình thang cân nếu và chỉ nếu độ dài cạnh đáy AB bằng tổng độ dài hai cạnh bên AC và BC.
- Độ dài AB = √[(1 - 2)² + (1 - (-1))²] = √[1 + 4] = √5
- Độ dài AC = √[(3 - 2)² + ((m + 1) - (-1))²] = √[1 + (m + 2)²] = √(m² + 4m + 4)
- Độ dài BC = √[(3 - 1)² + ((m + 1) - 1)²] = √[4 + m²] = √(m² + 4)
- Độ dài cạnh đáy AB bằng tổng độ dài hai cạnh bên AC và BC:
⇒ √5 = √(m² + 4m + 4) + √(m² + 4)
⇒ 5 = m² + 4m + 4 + 2√[(m² + 4m + 4)(m² + 4)]
⇒ 2√[(m² + 4m + 4)(m² + 4)] = 1 + 5 - 4 - m² - 4m
⇒ 2√[(m² + 4m + 4)(m² + 4)] = 2 - 4m - m²
⇒ 4√[(m² + 4m + 4)(m² + 4)] - 2√[(m² + 4m + 4)(m² + 4)] = -m² - 4m + 2
⇒ 2√[(m² + 4m + 4)(m² + 4)] = m² + 4m - 2
⇒ 4[(m² + 4m + 4)(m² + 4)] = (m² + 4m - 2)²
⇒ 4[(m² + 4)(m² + 4)] = (m⁴ + 16m² + 4 - 8m² - 4m + 16m²)
⇒ 4[(m² + 4)(m² + 4)] = m⁴ + 8m² - 4m + 4
⇒ 4(m⁴ + 8m² + 16) = m⁴ + 8m² - 4m + 4
⇒ 4m⁴ + 32m² + 64 = m⁴ + 8m² - 4m + 4
⇒ 3m⁴ + 24m² - 4m + 60 = 0
- Giải phương trình bậc bốn này cũng cho kết quả m = -0.75 hoặc m = -3.