Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ đến đường thẳng (m-2)x+(m-1)y=1 là A.\(\sqrt{2}\)       B.\(\dfrac{-3}{2}\)        C.\(-\sqrt{2}\)        D.\(\dfrac{3}{2}\)
Mình cần gấp sự giúp đỡ! Có ai có kinh nghiệm về chủ đề này không? Mình đang cần tìm câu trả lời cực kỳ chi tiết đây

Để giải bài toán này, ta cần tìm khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đã cho.

Phương pháp 1: Ta có thể sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Đầu tiên, chuyển phương trình đường thẳng về dạng chuẩn bằng cách chia tỉ số hệ số của x và y cho căn bậc 2 của tổng bình phương của chúng. Sau đó, thay (0,0) vào phương trình đường thẳng để tính khoảng cách.

Phương pháp 2: Chọn một điểm A nằm trên đường thẳng, tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm A.

Câu trả lời đúng: B. \(\dfrac{-3}{2}\)

Để tìm khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ đến đường thẳng (m-2)x + (m-1)y = 1, ta dùng công thức khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng. Tìm vector pháp tuyến (-2, -1) của đường thẳng, ta có d = |(-2*0 - 1*0 + 1)/sqrt((-2)^2 + (-1)^2)| = 1/sqrt(5) = sqrt(5)/5.

Dạng chuẩn của đường thẳng (m-2)x + (m-1)y - 1 = 0 là Ax + By + C = 0, với A = m-2, B = m-1, C = -1. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng là d = |C|/sqrt(A^2 + B^2). Thay vào công thức ta có d = 1/sqrt((m-2)^2 + (m-1)^2).

Theo định lý Pythagore, khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ đến đường thẳng là trực diện của nó. Khoảng cách này chính là đường thẳng nối điểm gian tiếp với gốc tọa độ. Ta tìm giao điểm của đường thẳng (m-2)x + (m-1)y = 1 với trục tung (x=0) và trục hoành (y=0) để tính được độ dài của trực diện là 2sqrt(2).

Đường thẳng (m-2)x + (m-1)y = 1 có dạng Ax + By = C, với A = m-2, B = m-1, C = 1. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm (2/(m-2), 1/(m-1)) trên đường thẳng là d = sqrt((2/(m-2))^2 + (1/(m-1))^2). Tối thiểu hóa hàm số này bằng cách lấy đạo hàm và đặt bằng 0, ta suy ra m = 3/2.