Tìm chữ số tận cùng : \(1997^{1993}-1993^{1997}\) AI nhanh và đúng mk tick cho
Mọi người thân mến, mình rất cần một chút trợ giúp từ Mọi người. Mọi người có thể dành ít phút để giúp mình không?

Để tìm chữ số tận cùng của số \(1997^{1993}-1993^{1997}\), ta có thể sử dụng tính chất của phép chia lấy dư.
Ta biết rằng, khi chia một số nguyên cho 10, chữ số tận cùng của số đó chính là phần dư của phép chia. Vì vậy, chúng ta chỉ cần tính giá trị của biểu thức \(1997^{1993}-1993^{1997}\) sau đó lấy phần dư của nó khi chia cho 10.

Giải bằng máy tính:

\(1997^{1993}\) có 797 chữ số, còn \(1993^{1997}\) có 775 chữ số, nên ta không thể tính trực tiếp giá trị của biểu thức này.

Tuy nhiên, chúng ta có thể áp dụng định lý Fermat nhỏ để giảm số chữ số cần tính toán.
Theo định lý Fermat nhỏ, với mọi số nguyên a, ta có: \(a^4 \equiv 1 \pmod{10}\).
Điều này có nghĩa là nếu ta đặt \(a = 1997\) hoặc \(1993\), thì chữ số tận cùng của \(a^{1993}\) hoặc \(a^{1997}\) sẽ giống chữ số tận cùng của \(a^{1993 \mod 4}\) hoặc \(a^{1997 \mod 4}\).

Ta thấy rằng \(1993 \equiv 1 \pmod{4}\) và \(1997 \equiv 1 \pmod{4}\), vì vậy \(1993^{1997} \equiv 1993^1 \equiv 1993 \pmod{10}\) và \(1997^{1993} \equiv 1997^1 \equiv 1997 \pmod{10}\).

Tiếp theo, ta chỉ cần tính toán chữ số tận cùng của biểu thức \(1***\). Kết quả sẽ là chữ số tận cùng tìm được.

\(1*** = 4\), vậy chữ số tận cùng của \(1997^{1993}-1993^{1997}\) là 4.

Để tìm chữ số tận cùng của biểu thức \(1997^{1993}-1993^{1997}\), ta có thể áp dụng kỹ thuật lấy dư khi chia cho 10.

Cách 1: Sử dụng tính chất của lũy thừa và phép chia.
- Ta biết rằng chữ số tận cùng của một số là chính số đó chia cho 10.
- Với mọi số \(k\) nguyên dương và chữ số tận cùng \(a\), ta có \(k \equiv a \pmod{10}\).
- Áp dụng tính chất này, ta có:
+ \(1997^{1993} \equiv 7^{1993} \pmod{10}\)
+ \(1993^{1997} \equiv 3^{1997} \pmod{10}\)
- Ta chỉ quan tâm đến chữ số tận cùng của các lũy thừa của 7 và 3, không quan tâm đến phần còn lại.
- Tính chữ số tận cùng của \(7^{1993}\):
+ Chữ số tận cùng của \(7^1\) là 7.
+ Chữ số tận cùng của \(7^2\) là 9.
+ Chữ số tận cùng của \(7^3\) là 3.
+ Chữ số tận cùng của \(7^4\) là 1.
+ Khi lũy thừa \(7^4\) tiếp tục lặp lại, chữ số tận cùng sẽ lặp lại theo cấp số nhân 7, 9, 3, 1.
- Tính chữ số tận cùng của \(3^{1997}\):
+ Chữ số tận cùng của \(3^1\) là 3.
+ Chữ số tận cùng của \(3^2\) là 9.
+ Khi lũy thừa \(3^2\) tiếp tục lặp lại, chữ số tận cùng sẽ lặp lại theo cấp số nhân 3, 9.
- Nhận xét: Chữ số tận cùng của \(7^{1993}\) và \(3^{1997}\) đều lặp lại theo chu kỳ.
- Khi lũy thừa của số chẵn lặp lại trong một chu kỳ chia hết cho 2, chữ số tận cùng sẽ không thay đổi. Tương tự, khi lũy thừa của số lẻ lặp lại trong một chu kỳ không chia hết cho 2, chữ số tận cùng sẽ giữ nguyên là chữ số ban đầu.
- Với trường hợp này, chữ số tận cùng của \(7^{1993}\) và \(3^{1997}\) đều không chia hết cho 2.
- Do đó, chữ số tận cùng của \(1997^{1993}-1993^{1997}\) sẽ bằng hiệu của chữ số tận cùng của \(7^{1993}\) và \(3^{1997}\).
- Ta có: \(7^{1993} - 3^{1997} \equiv 1 - 9 \equiv -8 \equiv 2 \pmod{10}\).
- Vậy, chữ số tận cùng của \(1997^{1993}-1993^{1997}\) là 2.

Cách 2: Sử dụng tính chất của phép lũy thừa.
- Chữ số tận cùng của một số được xác định bởi chữ số tận cùng của các số hạng trong phép nhân.
- Ta có tích \(1997 \times 1997 \times 1997 \times ... \times 1997\) với \(1993\) số hạng, và mỗi số hạng đều có chữ số tận cùng là 7.
- Ta cũng có tích \(1993 \times 1993 \times 1993 \times ... \times 1993\) với \(1997\) số hạng, và mỗi số hạng đều có chữ số tận cùng là 3.
- Khi nhân các số hạng có chữ số tận cùng là 7 với nhau, chữ số tận cùng sẽ không thay đổi và vẫn là 7.
- Tương tự, khi nhân các số hạng có chữ số tận cùng là 3 với nhau, chữ số tận cùng sẽ không thay đổi và vẫn là 3.
- Do đó, chữ số tận cùng của \(1997^{1993}-1993^{1997}\) chính là chữ số tận cùng của \(7-3\), tức là 4.

Cách 3: Sử dụng tính chất của phép chia.
- Ta biết rằng chữ số tận cùng của một số là chính phần dư của số đó khi chia cho 10.
- Ta có:
+ \(1997^{1993} \equiv 7^{1993} \pmod{10}\)
+ \(1993^{1997} \equiv 3^{1997} \pmod{10}\)
- Áp dụng định lý Fermat nhỏ, với mọi số nguyên \(a\) không chia hết cho 2 và mọi số nguyên \(n\) không âm, ta có \(a^{4} \equiv 1 \pmod{10}\).
- Do đó, \(7^{1993} \equiv 7^{4 \times 498 + 1} \equiv (7^{4})^{498} \times 7 \equiv 7 \pmod{10}\).
- Tương tự, \(3^{1997} \equiv 3^{4 \times 499 + 1} \equiv (3^{4})^{499} \times 3 \equiv 3 \pmod{10}\).
- Từ đó, ta có \(1997^{1993} - 1993^{1997} \equiv 7 - 3 \equiv 4 \pmod{10}\).
- Vậy, chữ số tận cùng của \(1997^{1993} - 1993^{1997}\) là 4.

Vậy, có thể có 3 câu trả lời chi tiết và cụ thể cho câu hỏi trên là \(2, 4\) hoặc \(4\).