Tìm m để hàm số \(y=\frac{1}{3}x^3-mx^2+\left(2m-1\right)x+2\)  có 2 điểm cực trị dương
Mình đang cảm thấy hơi bị mất phương hướng đây. Có ai có thể nhẹ nhàng hướng dẫn mình không? Làm ơn và cảm ơn rất nhiều!

Để hàm số \(y=\frac{1}{3}x^3-mx^2+\left(2m-1\right)x+2\) có 2 điểm cực trị dương, ta cần xác định giá trị của m sao cho hàm số có hai đạo hàm bằng 0 và đạo hàm thứ hai dương tại hai điểm cực trị.

Phương pháp giải:
Bước 1: Tính đạo hàm \(y'=x^2-2mx+(2m-1)\).
Bước 2: Giải phương trình \(y'=0\) để tìm các giá trị \(x\) của điểm cực trị.
Bước 3: Tính đạo hàm \(y''\) của hàm số.
Bước 4: Đặt điều kiện \(y'' > 0\) và giải phương trình để tìm các giá trị của \(m\).
Bước 5: Kết hợp các giá trị \(m\) tìm được từ bước 4 và xác định các giá trị tương ứng của \(x\) từ bước 2 để tìm các điểm cực trị dương của hàm số.

Câu trả lời:
Để hàm số có 2 điểm cực trị dương, ta giải phương trình \(y'=0\) và đặt điều kiện \(y'' > 0\).

Giải phương trình \(y' = 0\):
\(x^2-2mx+(2m-1)=0\).

Theo công thức nghiệm của phương trình bậc 2, ta có:
\(x=\frac{2m \pm \sqrt{(2m)^2-4(2m-1)}}{2}=\frac{2m \pm \sqrt{4m^2 - 8m + 4}}{2}=\frac{2m \pm 2\sqrt{m^2-2m+1}}{2}=m \pm \sqrt{m^2-2m+1}\).

Đặt \(x_1 = m + \sqrt{m^2-2m+1}\) và \(x_2 = m - \sqrt{m^2-2m+1}\).

Đạo hàm thứ hai của hàm số là:
\(y''=2x-2m\).

Đặt điều kiện \(y'' > 0\):
\(2x-2m > 0\Rightarrow x > m\).

Kết hợp các điều kiện trên, ta có các trường hợp sau:

1. Khi \(m > 0\), ta có \(x_1 > m\) và \(x_2 < m\). Điều này không thỏa mãn yêu cầu vì ta cần hai điểm cực trị dương, nhưng ở đây chỉ có một điểm cực trị là \(x_1\).
2. Khi \(m = 0\), ta có \(x_1 = 1\) và \(x_2 = -1\). Điều này không thỏa mãn yêu cầu vì có một điểm cực trị là \(x_2\) có giá trị âm.
3. Khi \(m < 0\), ta có \(x_1 < m\) và \(x_2 \) > m\). Trong trường hợp này, ta có hai điểm cực trị dương là \(x_1\) và \(x_2\).

Vậy, để hàm số có 2 điểm cực trị dương, giá trị của \(m\) phải < 0.

Giải phương trình x^2 - 2mx + (2m-1) = 0, ta có delta = (2m)^2 - 4(2m-1) = 4m^2 - 8m + 4 = 4(m^2 - 2m + 1).

Điểm cực trị là điểm có đạo hàm bằng 0. Ta giải phương trình x^2 - 2mx + (2m-1) = 0 để tìm các điểm cực trị.

Dựa vào đề bài, ta có y = 1/3*x^3 - mx^2 + (2m-1)*x + 2. Để tìm điểm cực trị, ta tìm đạo hàm của hàm số: y' = x^2 - 2mx + (2m-1).

Để hàm số có 2 điểm cực trị dương, ta cần xét đến điều kiện hàm số có đạo hàm bằng 0 tại 2 điểm đó.