Tìm \(3\)  chữ số tận cùng bên phải khi viết số \(2016^{2017}\)  trong hệ thập phân.
Mình đây! Một tâm hồn đang trong cảnh ngặt nghèo cần được cứu nguy. Bạn nào phóng khoáng tâm hồn hãy giúp mình giải quyết vấn đề này với nhé!

Ta có \(2016^{2017}=\left(2000+16\right)^{2017}\) \(=1000P+16^{2017}\)

Suy ra 3 chữ số tận cùng của số đã cho chính là 3 chữ số tận cùng của \(N=16^{2017}\).

 Dễ thấy chữ số tận cùng của N là 6.

 Ta tính thử một vài giá trị của \(16^n\):

 \(16^1=16;16^2=256;16^3=4096;16^4=65536\)\(;16^5=1048576\); \(16^6=1***\);...

 Từ đó ta có thể dễ dàng dự đoán được quy luật sau: \(16^{5k+2}\) có chữ số thứ hai từ phải qua là 5 với mọi số tự nhiên k.    (1)

 Chứng minh: (1) đúng với \(k=0\).

 Giả sử (*) đúng đến \(k=l\ge0\). Khi đó \(16^{5l+2}=100Q+56\). Ta cần chứng minh (1) đúng với \(k=l+1\). Thật vậy, \(16^{5\left(l+1\right)+2}=16^{5l+2}.16^5\) \(=\left(100Q+56\right)\left(100R+76\right)\) \(=10000QR+7600Q+5600R+4256\) có chữ số thứ hai từ phải qua là 5. 

 Vậy (*) đúng với \(k=l+1\), vậy (*) được chứng minh. Do \(N=16^{2017}=16^{5.403+2}\) nên có chữ số thứ 2 từ phải qua là 5.

 Ta lại thử tính một vài giá trị của \(16^{5k+2}\) thì thấy:

\(16^2=256;16^7=...456;16^{12}=...656;16^{17}=...856;...\)

 Ta lại dự đoán được \(16^{25u+17}\) có chữ số thứ 3 từ phải sang là 8 với mọi số tự nhiên \(u\).  (2)

 Chứng minh: (2) đúng với \(u=0\) 

 Giả sử (2) đúng đến \(u=v\ge0\). Khi đó \(16^{25u+17}=1000A+856\). Cần chứng minh (2) đúng với \(u=v+1\). Thật vậy:

 \(16^{25\left(u+1\right)+17}=16^{25u+17}.16^{25}\) \(=\left(1000A+856\right)\left(1000B+376\right)\) 

\(=1000C+321856\) có chữ số thứ 3 từ phải sang là 856.

 Vậy khẳng định đúng với \(u=v+1\) nên (2) được cm.

 Do đó \(N=16^{2017}=16^{25.80+17}\) có chữ số thứ 3 từ phải qua là 8.

 Vậy 3 chữ số tận cùng bên phải của số đã cho là \(856\)