Bài 54: Cho bảng ô vuông gồm 10 dòng và 10 cột. Hai bạn Tín và Nhi tô màu các ô, mỗi ô một màu trong 3 màu: xanh, đỏ, tím. Bạn Tín bảo: "Lần nào tô xong hết các ô cũng có 2 dòng mà trên 2 dòng đó có một màu tô số ô dòng này bằng tô số ô dòng kia". Bạn Nhi bảo: "Tớ phát hiện ra bao giờ cũng có 2 cột được tô như thế". Nào, bạn hãy cho biết ai đúng, ai sai? Bài giải: Giả sử số ô tô màu đỏ ở tất cả các dòng đều khác nhau mà mỗi dòng có 10 ô nên số ô được tô màu đỏ ít nhất là: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 (ô). Lí luận tương tự với màu xanh, màu tím ta cũng có kết quả như vậy. Do đó bảng sẽ có ít nhất 45 + 45 + 45 = 135 (ô). Điều này mâu thuẫn với bảng chỉ có 100 ô. Chứng tỏ ít nhất phải có 2 dòng mà số ô tô bởi cùng một màu là như nhau. Đối với các cột, ta cũng lập luận tương tự như trên. Do đó cả hai bạn đều nói đúng.
Cảm ơn mọi người đã quan tâm, mình còn khá mới mẻ, tấm chiếu mới và cần sự giúp đỡ. Có ai đó có thể giải đáp giúp mình về câu hỏi này không?

Để giải bài toán trên, ta có thể sử dụng phương pháp lập luận như sau:
- Giả sử trong hàng 1 đến hàng 10, hoặc trong cột 1 đến cột 10 không có hai dòng hay hai cột nào có cùng số ô tô một màu (điều mà bạn Tín và bạn Nhi nói).
- Khi đó, số ô tô mỗi màu trong mỗi dòng là duy nhất và khác nhau, tức là từ dòng 1 đến dòng 10, số ô tô màu xanh, đỏ và tím trong các dòng tăng dần.
- Tương tự, số ô tô mỗi màu trong mỗi cột cũng tăng dần từ cột 1 đến cột 10.
- Số ô tô màu xanh, đỏ và tím trong tổng cộng 10 dòng và 10 cột sẽ là 1+2+3+...+10 = 55.
- Như vậy, số ô tô mỗi màu trong mỗi dòng và mỗi cột sẽ là 55/10 = 5.5; đây không phải là một số nguyên.
- Vậy giả thiết ban đầu là không đúng, có ít nhất hai dòng hoặc hai cột có cùng một số ô tô một màu.

Vậy cả hai bạn Tín và Nhi đều nói đúng.

Ta có thể tìm một phép tô màu thỏa mãn cả hai câu nói của Tín và Nhi. Giả sử ta tô màu theo cách sau: hàng từ 1 đến 10 sẽ được tô lần lượt là xanh, đỏ, tím, xanh, đỏ, tím, xanh, đỏ, tím, xanh. Như vậy, trong mỗi hàng, số lượng ô được tô màu khác nhau và phản ánh chính xác số lượng ô được tô màu trong hàng khác. Đồng thời, cột thứ 1 và cột thứ 2 cũng được tô màu giống nhau, thỏa mãn cả hai câu nói của Tín và Nhi. Do đó, cả hai bạn đều đúng.

Ở hàng thứ 1 của bảng, ta có 10 ô, theo giả thiết của Tín, số lượng ô được tô màu trong hàng thứ 1 phải khác nhau và phản ánh chính xác số ô được tô màu trong hàng thứ 2. Nhưng ta cũng biết rằng có 10 cột và theo giả thiết của Nhi, luôn có 2 cột được tô màu giống nhau. Điều này mâu thuẫn với giả thiết của Tín, do đó Tín nói sai.

Để chứng minh câu trả lời, ta sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng. Giả sử Tín nói đúng, tức là trong mỗi hàng của bảng, số lượng ô tô cùng một màu luôn khác nhau và số ô được tô màu ít nhất là 45. Tương tự, giả sử Nhi cũng nói đúng, tức là trong mỗi cột của bảng, có 2 cột được tô như Tín nói. Như vậy tổng số ô cần tô màu tối thiểu là 45*2 = 90, mâu thuẫn với bảng chỉ có 100 ô. Do đó, không thể có cách tô màu thỏa mãn cả hai câu nói, tức là cả hai bạn đều sai.