Lớp 10
30điểm
3 năm trước
Đỗ Quang Thắng

Chứng minh rằng trong tam giác ABC bất kì, ta có :

\(\cot A + \cot B + \cot C > 0.\)
Mình đang cần một chút sự tư vấn từ các Bạn. Có ai có thể dành chút thời gian cứu nguy giúp mình không ạ?

Hãy luôn nhớ cảm ơnvote 5 sao

nếu câu trả lời hữu ích nhé!

Các câu trả lời

Phương pháp giải:
Bước 1: Sử dụng công thức nghiệm của tam giác A = \(\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C\), tương tự với B và C.
Bước 2: Áp dụng công thức quan hệ giữa 3 góc tam giác chung tắc là \(A + B + C = 180^{\circ}\).
Bước 3: Sử dụng định nghĩa \(\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}\), tương tự với B và C.
Bước 4: Đưa các công thức trên vào biểu thức cần chứng minh và rút gọn.

Câu trả lời:
Để chứng minh rằng \(\cot A + \cot B + \cot C > 0\) trong tam giác ABC bất kì.
Gọi a, b, c lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác ABC.
Ta có:
\(\cot A = \frac{\cos A}{\sin A} = \frac{\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{\frac{a}{c}} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2ac}\)
Tương tự, ta có: \(\cot B = \frac{c^2+a^2-b^2}{2ab}\) và \(\cot C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2bc}\)
Vậy \(\cot A + \cot B + \cot C = \frac{b^2+c^2-a^2}{2ac} + \frac{c^2+a^2-b^2}{2ab} + \frac{a^2+b^2-c^2}{2bc}\)
= \(\frac{b^2+c^2-a^2 + c^2+a^2-b^2 + a^2+b^2-c^2}{2ac} + \frac{a^2+b^2-c^2}{2bc}\)
= \(\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{2ac} + \frac{a^2+b^2-c^2}{2bc} = \frac{a^2+b^2+c^2}{ac} > 0\)

Vậy ta đã chứng minh được \(\cot A + \cot B + \cot C > 0\) trong tam giác ABC bất kì.

Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
51 vote
Cảm ơn 3Trả lời.
Câu hỏi Toán học Lớp 10
Câu hỏi Lớp 10

Bạn muốn hỏi điều gì?

Đặt câu hỏix
  • ²
  • ³
  • ·
  • ×
  • ÷
  • ±
  • Δ
  • π
  • Ф
  • ω
  • ¬
0.45585 sec| 2239.672 kb