Chứng minh rằng: Nếu P là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (P-1).(P+1) chia hết cho 24
Mọi người ơi, mình đang rối bời không biết làm thế nào ở đây. Bạn nào đi qua cho mình xin ít hint với!

Để chứng minh rằng (P-1).(P+1) chia hết cho 24 khi P là số nguyên tố lớn hơn 3, ta sẽ chia thành 2 trường hợp:

Trường hợp 1:
Nếu P là số nguyên tố lẻ, tức là P = 2k + 1 với k là số nguyên dương.
Thay vào biểu thức (P-1).(P+1), ta có:
(P-1).(P+1) = (2k + 1 - 1).(2k + 1 + 1) = 2k.(2k + 2) = 4k(k + 1)

Theo quy tắc của các số liền kề, 1 trong 2 số k và k + 1 chắc chắn là số chẵn. Khi đó, biểu thức trên chia hết cho 8.
Vì kí hiệu P là số nguyên tố lớn hơn 3, nên tồn tại một số nguyên dương t sao cho P = 3t + 2 (P = 3t + 1 không phải số nguyên tố). Thay vào biểu thức trên, ta có:
(P-1).(P+1) = (3t + 2 - 1).(3t + 2 + 1) = (3t + 1).(3t + 3) = 3(t + 1)(t + 3)

Bởi vì t + 1 và t + 3 luôn là 2 số liền kề, nên một trong những số này chắc chắn chia hết cho 2. Như vậy, biểu thức trên chia hết cho 8.

Trường hợp 2:
Nếu P là số nguyên tố chẵn, tức là P = 2k với k là số nguyên dương.
Thay vào biểu thức (P-1).(P+1), ta có:
(P-1).(P+1) = (2k - 1).(2k + 1) = 4k(k - 1)

Theo quy tắc của các số liền kề, 1 trong 2 số k và k - 1 chắc chắn là số chẵn. Khi đó, biểu thức trên chia hết cho 8.

Bởi vì số nguyên tố P lớn hơn 3 và là số chẵn, nên P chia hết cho 2 và không chia hết cho 3. Do đó, trong tích (P-1).(P+1) sẽ có ít nhất một thừa số 2 và ít nhất một thừa số 3. Vì vậy, biểu thức trên chia hết cho 8 và chia hết cho 3. Như vậy, (P-1).(P+1) chia hết cho 24.

Vậy, ta đã chứng minh được nếu P là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (P-1).(P+1) chia hết cho 24.

Cách 2: Sử dụng tính chất của phép chia

Giả sử P là số nguyên tố lớn hơn 3. Ta biết rằng số nguyên tố lớn hơn 3 luôn có dạng 6k ± 1 với k là số nguyên. Vì vậy ta có thể viết P dưới dạng P = 6k ± 1.

Khi đó, ta có (P-1).(P+1) = (6k-1).(6k+1) = 36k^2 - 1.

Theo tính chất của phép chia, ta có thể viết 36k^2 - 1 dưới dạng 36k^2 = 24k^2 + 12k^2 - 1. Ta thấy 24k^2 chia hết cho 24, còn 12k^2 - 1 có thể viết dưới dạng 12k^2 - 1 = (4k)^2 - 1 = (4k-1)(4k+1). Ta có thể thấy (4k-1)(4k+1) là một tích của hai số liên tiếp.

Do đó, (P-1).(P+1) chia hết cho 24.

Cách 1: Sử dụng tính chất của số nguyên tố

Giả sử P là số nguyên tố lớn hơn 3. Ta biết rằng số nguyên tố lớn hơn 3 luôn có dạng 6k ± 1 với k là số nguyên. Vì vậy ta có thể viết P dưới dạng P = 6k ± 1.

Khi đó, ta có (P-1).(P+1) = (6k-1).(6k+1) = (6k)^2 - (1)^2 = 36k^2 - 1 = 24k^2 + 12k^2 - 1.

Ta thấy rằng 24k^2 chia hết cho 24, còn 12k^2 - 1 có thể viết dưới dạng 12k^2 - 1 = (4k)^2 - 1 = (4k-1)(4k+1). Ta có thể thấy (4k-1)(4k+1) là một tích của hai số liên tiếp.

Giả sử a là một số chẵn, ta có thể viết a = 2n với n là một số nguyên. Do đó a^2 = (2n)^2 = 4n^2 = 4(n^2), nên a^2 chia hết cho 4.

Vậy (4k-1)(4k+1) là tích của hai số chẵn, nên chia hết cho 8.

Do đó, (P-1).(P+1) chia hết cho 24.

Phương pháp làm:
1. Đọc hiểu câu hỏi và hiểu rõ nghĩa của từng từ khóa trong câu hỏi.
2. Tìm kiếm thông tin liên quan đến hiệp ước Nhâm Tuất 1862, thái độ và hành động của Pháp và triều đình Huế sau hiệp ước đó.
3. Sắp xếp thông tin tìm được theo logic và lựa chọn các thông tin quan trọng và liên quan nhất để viết câu trả lời.
4. Viết câu trả lời dựa trên các thông tin đã tìm được và tuân theo yêu cầu của câu hỏi.

Câu trả lời:
Sau hiệp ước Nhâm Tuất 1862, thái độ và hành động của thực dân Pháp và triều đình Huế khá phức tạp và đi theo từng giai đoạn khác nhau. Ban đầu, Pháp thể hiện thái độ lừa dối và cố tình xâm lược vào lãnh thổ Việt Nam dưới sự ủng hộ của Hoàng triều Huế. Thực dân Pháp đã khai thác và cướp bóc tài nguyên, chiếm đóng các vị trí chiến lược và áp đặt những điều kiện không công bằng lên triều đình Huế. Sự gần gũi và quyền lực của Pháp trong quan hệ với triều đình Huế dần trở nên rõ ràng.
Tuy nhiên, từ những năm 1883 trở đi, triều đình Huế đã dần nhận ra mục tiêu thật sự của Pháp là thôn tính và xâm lược đất nước. Bởi vì nhận thức được sự đe dọa và viễn cảnh xấu xa, triều đình Huế đã có sự thay đổi trong thái độ và hành động. Năm 1885, Chính phủ Huế đã ra lệnh chống lại các yêu sách sai lầm và bất công của thực dân Pháp và triều đình đã khởi đầu cuộc khởi nghĩa chống Pháp đầu tiên.

Tóm lại, sau hiệp ước Nhâm Tuất 1862, thực dân Pháp đã thể hiện thái độ lừa dối và xâm lược đối với lãnh thổ Việt Nam, trong khi triều đình Huế ban đầu ủng hộ Pháp. Tuy nhiên, sau những sự kiện xấu xa, triều đình Huế đã nhận thức được thực chất của Pháp và thay đổi thái độ, khởi đầu cuộc khởi nghĩa chống Pháp.