Lớp 10
20điểm
3 năm trước
Thầy Nghiệp ĐZ

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: \({r_a} + {r_b} + {r_c} \ge {h_a} + {h_b} + {h_c}.\)
Xin chào mọi người, mình đang gặp chút vấn đề khó khăn, Bạn nào biết có thể giúp mình giải đáp được không?

Hãy luôn nhớ cảm ơnvote 5 sao

nếu câu trả lời hữu ích nhé!

Các câu trả lời

Để chứng minh rằng \({r_a} + {r_b} + {r_c} \ge {h_a} + {h_b} + {h_c}\), ta sẽ sử dụng bất đẳng thức tam giác trong tam giác ABC.

Giả sử AD là đường cao của tam giác ABC. Khi đó, ta có các kết quả sau:
- \(r_a = \frac{S}{p-a}\) (với S là diện tích tam giác ABC, a là độ dài cạnh BC và p là nửa chu vi tam giác ABC)
- \(h_a = \frac{2S}{a}\) (với S là diện tích tam giác ABC và a là độ dài cạnh BC)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: \(r_a + r_b \ge a\) và \(r_c \ge \frac{b + c}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác nữa, ta có: \(h_b + h_c \le a\)

Qua đó, ta có bất đẳng thức:
\({r_a} + {r_b} + {r_c} \ge a + \frac{b + c}{2} \ge h_b + h_c + \frac{b + c}{2}\)

Tổng cộng, ta đã chứng minh được rằng \({r_a} + {r_b} + {r_c} \ge {h_a} + {h_b} + {h_c}\)

Vậy câu trả lời cho câu hỏi trên là: \({r_a} + {r_b} + {r_c} \ge {h_a} + {h_b} + {h_c}\)

Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
51 vote
Cảm ơn 3Trả lời.

Cách 2: Sử dụng công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và đường cao tương ứng. Ta có r_a = \(\frac{abc}{4S}\) và h_a = \(\frac{2S}{a}\), tương tự với r_b, r_c, h_b, h_c. Thay các giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu, ta được:\[\(\frac{abc}{4S}\) + \(\frac{abc}{4S}\) + \(\frac{abc}{4S}\) \ge \(\frac{2S}{a}\) + \(\frac{2S}{b}\) + \(\frac{2S}{c}\)\], với S là diện tích tam giác ABC và a, b, c là độ dài ba cạnh tương ứng.

Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
51 vote
Cảm ơn 1Trả lời.

Cách 1: Ta biết rằng trong tam giác ABC, có điểm phân giác I là trung điểm của đoạn thẳng nối đỉnh A với tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì vậy, ta có ba tròn ngoại tiếp tam giác AIB, BIC và CIA.

Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
51 vote
Cảm ơn 2Trả lời.
Câu hỏi Toán học Lớp 10
Câu hỏi Lớp 10

Bạn muốn hỏi điều gì?

Đặt câu hỏix
  • ²
  • ³
  • ·
  • ×
  • ÷
  • ±
  • Δ
  • π
  • Ф
  • ω
  • ¬
0.46699 sec| 2247.609 kb