Cho 1/x + 1/y + 1/z = 0. Tính N = yz/x2 +  zx/y2 + xy/z2
Chào cả nhà, mình đang gặp một chút vấn đề khó khăn, Bạn nào biết có thể giúp mình giải đáp câu hỏi này được không ạ?

Phương pháp giải:

Ta có: 1/x + 1/y + 1/z = 0
=> (yz+zx+xy) / (xyz) = 0
=> yz + zx + xy = 0

Ta cần tính N = yz/x^2 + zx/y^2 + xy/z^2

Nhân cả hai vế của đẳng thức trên cho xyz, ta có:
(yz + zx + xy) = 0
=> yz = -zx - xy

Thay giá trị của yz vào biểu thức cần tính N, ta được:
N = yz/x^2 + zx/y^2 + xy/z^2
= (-zx - xy)/x^2 + zx/y^2 + xy/z^2
= -z/x - y/x + z/y + x/y

Kết quả: N = -z/x - y/x + z/y + x/y

Với điều kiện ban đầu 1/x + 1/y + 1/z = 0, ta có xy + yz + zx = 0 => xy + yz = -zx. Nhân cả hai vế với z ta được z(xy + yz) = -z^2x => zy(x + y) = -z^2x => z^2 = -zy(x + y). Tương tự, y^2 = -yx(z + x) và x^2 = -xy(y + z). Đặt A = yz/x^2, B = zx/y^2, C = xy/z^2. Ta có A + B + C = -1/x - 1/y - 1/z = 0 => A + B + C = 0 => A(y^2z^2) + B(x^2z^2) + C(x^2y^2) = 0 => yz + zx + xy = 0 => N = yz/x^2 + zx/y^2 + xy/z^2 = 0.

Từ điều kiện ban đầu 1/x + 1/y + 1/z = 0, ta có xy + yz + zx = 0. Nhân cả hai vế với x, y, z ta được xyz + y^2z + z^2x = 0. Tương tự như câu trên, ta có x^2 + y^2 + z^2 = z. Do đó N = yz/x^2 + zx/y^2 + xy/z^2 = 1/z.

Ta có: 1/x + 1/y + 1/z = 0 => (xy + yz + zx)/xyz = 0 => xy + yz + zx = 0. Nhân cả hai vế với x, y, z ta được xyz + y^2z + z^2x = 0 => xyz + y^2z + z^2x + yz^2 = yz^2 => yz(x^2 + z^2 + y^2) = yz^2 => x^2 + y^2 + z^2 = z => N = yz/x^2 + zx/y^2 + xy/z^2 = 1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2 = (x^2 + y^2 + z^2)/(x^2y^2z^2) = z/(xyz)^2 = z/z^2 = 1/z.