Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB, M là trung điểm BC, N là trung điểm DC. Tìm thiết diện tạo bởi (GMN) và hình chóp.

Đỗ Bảo Phương

Để tìm thiết diện tạo bởi (GMN) và hình chóp, ta có thể thực hiện theo các bước sau:

Phương pháp giải 1:
Bước 1: Xác định tọa độ của các điểm trong không gian.
- Gọi A (0, 0, 0), B (a, 0, 0), C (a, b, 0), D (0, b, 0) là các đỉnh của hình chóp.
- G là trọng tâm của tam giác SAB nên tọa độ của G là ((a+0)/2, (0+0)/2, (0+0)/2) = (a/2, 0, 0).
- Tọa độ của M và N lần lượt là ((a+a)/2, 0, 0) = (a, 0, 0) và ((0+a)/2, b, 0) = (a/2, b, 0).

Bước 2: Xác định phương trình của mặt phẳng (GMN).
- Gọi mặt phẳng (GMN) có phương trình ax + by + cz + d = 0, với (a, b, c) là vector pháp tuyến của mặt phẳng.
- Ta có thể tìm vector pháp tuyến bằng cách lấy tích vector của hai vector trong mặt phẳng, chẳng hạn như vector GM = (a/2, 0, 0) và GN = (a/2, b, 0). Kết quả thu được vector pháp tuyến của mặt phẳng là (0, 0, ab/4).
- Dùng điểm G (a/2, 0, 0) để tìm hệ số d: a(a/2) + b(0) + 0 + d = 0 ⇒ d = -a^2/2.

Bước 3: Tìm giao điểm giữa mặt phẳng (GMN) và hình chóp.
- Thay tọa độ của A, B, C, D vào phương trình của mặt phẳng (GMN) ta sẽ tìm được giao điểm là E (a, b/2, -a^2/2).
- Vậy thiết diện tạo bởi (GMN) và hình chóp S.ABCD là tam giác EBC.

Phương pháp giải 2:
Bước 1: Vẽ đồ thị hình chóp S.ABCD và giao điểm của ba điểm G, M, N.
Bước 2: Chứng minh rằng tam giác GMN và tam giác BCD đồng dạng.
Bước 3: Suy ra tỷ lệ giữa các cạnh trong tam giác GMN và tam giác BCD.
Bước 4: Dựa vào tỷ lệ giữa các cạnh, vẽ ra hình thiết diện cần tìm tạo bởi tam giác GMN và hình chóp.
Bước 5: Xác định diện tích của hình thiết diện đó.

Câu trả lời:
Thiết diện tạo bởi (GMN) và hình chóp là tam giác EBC.