Bài 39 (trang 123 SGK Toán 9 Tập 1) Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ tiếp xúc ngoài tại $A$, Kẻ tiếp tuyến chung ngoài $BC$, $B \in (O)$, $C \in (O')$. Tiếp tuyến chung trong tại $A$ cắt tiếp tuyến chung ngoài $BC$ ở $I$. a) Chứng minh rằng $\widehat{BAC} = 90^{\circ}$. b) Tính số đo góc $OIO'$. c) Tính độ dài $BC$, biết $OA = 9$cm, $O'A = 4$cm.
Mọi người ơi, mình đang cảm thấy rất lo lắng không biết phải giải quyết câu hỏi này như thế nào, mai phải nộp bài cho giáo viên rồi. Bạn nào thông thái giúp mình với!

Để giải bài toán trên, ta có các bước như sau:

a) Vì $BC$ là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn $(O)$ và $(O')$, nên ta có $\widehat{BAC} = 90^{\circ}$.

b) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó $OM \perp BC$, $O'M \perp BC$.\\
Ta có $OA \perp BC$ và $O'A \perp BC$ nên tứ giác $AO'MO$ là hình chữ nhật.\\
Suy ra $OIO'O$ là hình bình hành, do đó $\widehat{OIO'} = \widehat{OMA} = 90^{\circ}$.

c) Gọi $D$ là hình chiếu của $O$ trên $BC$ và $E$ là hình chiếu của $O'$ trên $BC$. Khi đó $AD = \frac{1}{2}BC$, $AE = \frac{1}{2}BC$.\\
Ta có $OA = 9$cm, $O'A = 4$cm và $AD = AE$, nên theo định lí cạnh góc vuông ta có: $OD = O'D = 5$cm.\\
Do đó, $BC = 2 \times OD = 10$cm.

Vậy,
a) $\widehat{BAC} = 90^{\circ}$
b) $\widehat{OIO'} = 90^{\circ}$
c) $BC = 10$cm.

{
"answer1": {
"a": "Ta có góc ở tâm bằng góc nội tiếp, suy ra $\widehat{BAC} = \frac{1}{2}\widehat{BOC} = 90^{\circ}$",
"b": "Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, ta có $OIM$ là tam giác vuông cân tại $I$, do đó $\widehat{OIO'} = 2\widehat{OIM} = 2 \times 45^{\circ} = 90^{\circ}$",
"c": "Áp dụng định lí về đồng quy, ta có $OA^2 = OI \times OB = 9 \times 2R$, với $R$ là bán kính đường tròn $(O)$. Tương tự, ta có $O'A^2 = O'I \times O'B = 4 \times 2R'$. Giải hệ phương trình, ta tính được $2R = 6$cm, $2R' = 16$cm. Do đó, $BC = 2\sqrt{RR'} = 2\sqrt{6 \times 16} = 2\sqrt{96} = 4\sqrt{6} cm$"
},
"answer2": {
"a": "Gọi $D$ là giao điểm của $BC$ và $AA'$. Ta có tứ giác $ABCD$ là tứ giác nội tiếp, suy ra tứ giác $ABCD$ là tứ giác cố định. Do đó, $\widehat{BAC} = \widehat{BDC} = 90^{\circ}$",
"b": "Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, ta có tam giác $OIM$ vuông tại $I$. Do đó, $\widehat{OIO'} = 2\widehat{OIM} = 2 \times 45^{\circ} = 90^{\circ}$",
"c": "Áp dụng định lí về đồng quy, ta có $OA^2 = OI \times OB = 9 \times 2R$, $O'A^2 = O'I \times O'B = 4 \times 2R'$. Giải hệ phương trình, ta tính được $2R = 6$cm, $2R' = 16$cm. Do đó, $BC = 2\sqrt{RR'} = 2\sqrt{6 \times 16} = 2\sqrt{96} = 4\sqrt{6} cm$"
},
"answer3": {
"a": "Vì $AB \perp BC$ và $AC \perp BC$ (do là tiếp tuyến) nên tứ giác $ABCD$ là tứ giác nội tiếp. Suy ra $\widehat{BAC} = \widehat{BDC} = 90^{\circ}$",
"b": "Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, ta có tam giác $OIM$ vuông tại $I$. Do đó, $\widehat{OIO'} = 2\widehat{OIM} = 2 \times 45^{\circ} = 90^{\circ}$",
"c": "Áp dụng định lí về đồng quy, ta có $OA^2 = OI \times OB = 9 \times 2R$, $O'A^2 = O'I \times O'B = 4 \times 2R'$. Giải hệ phương trình, ta tính được $2R = 6$cm, $2R' = 16$cm. Do đó, $BC = 2\sqrt{RR'} = 2\sqrt{6 \times 16} = 2\sqrt{96} = 4\sqrt{6} cm$"
},
"answer4": {
"a": "Do $BC$ là tiếp tuyến chung nên $\widehat{BOC}$ và $\widehat{BO'C}$ là góc phân giác nên $\widehat{BAC} = \frac{1}{2}(\widehat{BOC} + \widehat{BO'C}) = \frac{1}{2} \times 180^{\circ} = 90^{\circ}$",
"b": "Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $\widehat{OIM} = 90^{\circ}$, suy ra $\widehat{OIO'} = 2\widehat{OIM} = 2 \times 45^{\circ} = 90^{\circ}$",
"c": "Áp dụng định lí về đồng quy, ta có $OA^2 = OI \times OB = 9 \times 2R$, $O'A^2 = O'I \times O'B = 4 \times 2R'$. Giải hệ phương trình, ta tính được $2R = 6$cm, $2R' = 16$cm. Do đó, $BC = 2\sqrt{RR'} = 2\sqrt{6 \times 16} = 2\sqrt{96} = 4\sqrt{6} cm$"
},
"answer5": {
"a": "Tứ giác $ABCD$ là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{BAC} = \widehat{BDC} = 90^{\circ}$",
"b": "Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, ta có tam giác $OIM$ vuông tại $I$. Suy ra $\widehat{OIO'} = 2\widehat{OIM} = 2 \times 45^{\circ} = 90^{\circ}$",
"c": "Áp dụng định lí về đồng quy, ta có $OA^2 = OI \times OB = 9 \times 2R$, $O'A^2 = O'I \times O'B = 4 \times 2R'$. Giải hệ phương trình, ta tính được $2R = 6$cm, $2R' = 16$cm. Do đó, $BC = 2\sqrt{RR'} = 2\sqrt{6 \times 16} = 2\sqrt{96} = 4\sqrt{6} cm$"
},
"answer6": {
"a": "Do $AB \perp BC$ và $AC \perp BC$ nên tứ giác $ABCD$ là tứ giác nội tiếp, suy ra $\widehat{BAC} = \widehat{BDC} = 90^{\circ}$",
"b": "Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, ta có tam giác $OIM$ vuông tại $I$. Vậy $\widehat{OIO'} = 2\widehat{OIM} = 2 \times 45^{\circ} = 90^{\circ}$",
"c": "Áp dụng định lí về đồng quy, ta có $OA^2 = OI \times OB = 9 \times 2R$, $O'A^2 = O'I \times O'B = 4 \times 2R'$. Giải hệ phương trình, ta tính được $2R = 6$cm, $2R' = 16$cm. Do đó, $BC = 2\sqrt{RR'} = 2\sqrt{6 \times 16} = 2\sqrt{96} = 4\sqrt{6} cm$"
}
}