AI CÓ NÍCH NGỌC RỒNG VIP CHO MIK NHÁ MIK CẢM ƠN NHIỀU! Câu 1. Chứng minh √7 là số vô tỉ. Câu 2. a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) Câu 3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x2 + y2.
Ai ở đây giỏi về chủ đề này không ạ? Mình đang cần tìm câu trả lời và rất mong được sự giúp đỡ của các Bạn!

Để chứng minh √7 là số vô tỉ, ta giả sử ngược lại rằng √7 là số tỉ. Điều đó có nghĩa là có hai số nguyên dương a và b sao cho √7 = a/b, tức là 7 = a^2/b^2. Từ đó suy ra a^2 = 7b^2. Ta thấy a^2 chia hết cho 7 nên a chia hết cho 7, gọi a = 7k. Thay a vào phương trình ta được (7k)^2 = 7b^2 ⇒ 49k^2 = 7b^2 ⇒ 7k^2 = b^2. Tương tự, b cũng chia hết cho 7. Điều này mâu thuẫn với giả định ban đầu nên √7 không phải là số tỉ, tức là √7 là số vô tỉ.

Để chứng minh phần b) của câu 2, ta có:
(ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 = a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2 + a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2 = a^2(c^2 + d^2) + b^2(c^2 + d^2) = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)

Để chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có:
(ac + bd)^2 - (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2 - a^2c^2 - a^2d^2 - b^2c^2 - b^2d^2 = 2abcd - a^2d^2 - b^2c^2 = 2abcd - (ad)^2 - (bc)^2 = 2abcd - a^2d^2 - b^2c^2 ≤ 0, vì đóng luôn luôn đúng.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x^2 + y^2 khi x + y = 2, ta có:
x + y = 2 ⇒ y = 2 - x
S = x^2 + (2 - x)^2 = x^2 + 4 - 4x + x^2 = 2x^2 - 4x + 4
Ta có đạo hàm của S là S' = 4x - 4
Đạo hàm bằng 0 ta được x = 1 và y = 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức S là 2.

Để chứng minh câu 3, ta có x^2 + y^2 = x^2 + (2 - x)^2 = x^2 + 4 - 4x + x^2 = 2x^2 - 4x + 4 = 2(x - 1)^2 + 2. Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức trên, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của (x - 1)^2 với x thuộc R. Ta có (x - 1)^2 luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi giá trị của x, do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 2 khi và chỉ khi x = 1.

Để chứng minh câu 1, ta giả sử ngược lại rằng √7 là số hữu tỉ. Khi đó, ta có thể viết √7 dưới dạng a/b với a, b là hai số nguyên không có ước chung lớn hơn 1. Ta có 7 = a^2/b^2 => a^2 = 7b^2. Điều này đồng nghĩa với việc a chia hết cho 7. Nhưng nếu a chia hết cho 7 thì a^2 chia hết cho 49. Tức là 7b^2 phải chia hết cho 49, điều này không thể xảy ra. Do đó, giả sử ban đầu là sai, từ đó suy ra √7 là số vô tỉ.

Ta có x + y = 2 => x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 4 - 2xy. Để tìm giá trị nhỏ nhất của S = x^2 + y^2, cũng chính là tìm giá trị lớn nhất của -2xy. Ta có AM-GM inequality: -2xy <= ((x + y)/2)^2 = 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 4 - 2 = 2.

Bất đẳng thức Bunhiacôpxki tương đương với (ac + bd)^2 <= (a^2 + b^2)(c^2 + d^2). Ta có: (ac + bd)^2 = a^2c^2 + b^2d^2 + 2abcd <= a^2c^2 + b^2d^2 + 2ab(a^2 + b^2) = a^2(c^2 + d^2) + b^2(c^2 + d^2) = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2). Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.