Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2022 2023

Nội dung Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2022 2023 Bản PDF

Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2022 – 2023

Sytu xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán Trung học Phổ thông năm học 2022 – 2023, kỳ thi diễn ra vào ngày 24 và 25 tháng 02 năm 2023. Dưới đây là một số câu hỏi từ đề thi:

1. Xét dãy số \( (a_n) \) thỏa mãn với mọi \( n \geq 1 \).

a) Chứng minh rằng dãy \( (a_n) \) xác định duy nhất và có giới hạn hữu hạn.

b) Cho dãy số \( (b_n) \) xác định bởi \( b_n \) với mọi \( n \geq 1 \). Chứng minh rằng dãy \( (b_n) \) có giới hạn hữu hạn.

2. Cho các số nguyên \( a \), \( b \), \( c \), \( \alpha \), \( \beta \) và dãy số \( (u_n) \) xác định bởi \( u_n \) với mọi \( n \geq 1 \).

a) Chứng minh rằng nếu \( a = 3 \), \( b = -2 \), \( c = -1 \) thì có vô số cặp số nguyên \( (\alpha, \beta) \) để \( u_{2023} = 2^{2022} \).

b) Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương \( n \) sao cho có duy nhất một trong hai khẳng định sau là đúng:

• i) Có vô số số nguyên dương \( m \) để chia hết cho \( 7^{2023} \) hoặc \( 17^{2023} \).
• ii) Có vô số số nguyên dương \( k \) để chia hết cho \( 2023 \).

3. Cho tứ giác \( ABCD \) có \( DB = DC \) và nội tiếp một đường tròn. Gọi \( M \), \( N \) tương ứng là trung điểm của \( AB \), \( AC \) và \( J \), \( E \), \( F \) tương ứng là các tiếp điểm của đường tròn \( (I) \) nội tiếp tam giác \( ABC \) với \( BC \), \( CA \), \( AB \). Đường thẳng \( MN \) cắt \( JE \), \( JF \) lần lượt tại \( K \), \( H \); \( IJ \) cắt lại đường tròn \( (IBC) \) tại \( G \) và \( DG \) cắt lại \( (IBC) \) tại \( T \).

a) Chứng minh rằng \( JA \) đi qua trung điểm của \( HK \) và vuông góc với \( IT \).

b) Gọi \( R \), \( S \) tương ứng là hình chiếu vuông góc của \( D \) trên \( AB \), \( AC \). Lấy các điểm \( P \), \( Q \) lần lượt trên \( IF \), \( IE \) sao cho \( KP \) và \( HQ \) đều vuông góc với \( MN \). Chứng minh rằng ba đường thẳng \( MP \), \( NQ \) và \( RS \) đồng quy.