Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 1\) tại điểm có hoành độ bằng 1.
Mình cảm thấy thực sự bế tắc lúc này và rất cần một ai đó hỗ trợ. Mọi người có thể dành chút thời gian giúp mình không? Xin lỗi nếu mình làm phiền Mọi người.

Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 1\) tại điểm có hoành độ bằng 1, ta cần thực hiện các bước sau đây:

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 1\) bằng cách tính đạo hàm cấp 1 của hàm số này.

\(y' = 3x^2 + 6x\)

Bước 2: Tìm hoành độ của điểm cần tìm tiếp tuyến, đó là \(x = 1\).

Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại điểm x = 1:

\(y(1) = 1 + 3 - 1 = 3\)

Bước 4: Tính giá trị đạo hàm tại điểm x = 1:

\(y'(1) = 3(1)^2 + 6(1) = 9\)

Bước 5: Dùng công thức của phương trình tiếp tuyến để tìm phương trình tiếp tuyến:

\(y - y_0 = m(x - x_0)\)

Với \( (x_0, y_0) \) là điểm trên đồ thị và \( m \) là độ dốc của tiếp tuyến. Thay các giá trị vào công thức ta có:

\(y - 3 = 9(x - 1)\)

Phương trình tiếp tuyến là: \(y = 9x - 6\)

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 1\) tại điểm có hoành độ bằng 1 là \(y = 9x - 6\).

Dòng trên là một cách cụ thể để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^3 + 3x^2 - 1 tại điểm có hoành độ bằng 1.

Vậy phương trình của tiếp tuyến là y - y(1) = y'(1)(x - 1), thay y(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 1 = 3 vào phương trình ta có phương trình tiếp tuyến là y - 3 = 9(x - 1).

Tại x = 1, đạo hàm của hàm số là y'(1) = 3(1)^2 + 6(1) = 9.

Để tìm tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1, ta thay x = 1 vào đạo hàm để tính được giá trị đạo hàm tại điểm đó.