Viết phương trình mặt phẳng ( α ) trong các trường hợp sau:  ( α ) đi qua  ba điểm M(1; 1; 1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1).
Mình biết là mọi người đều bận rộn, nhưng nếu Bạn nào có thể sắp xếp chút thời gian để hỗ trợ mình giải đáp câu hỏi này, mình sẽ rất biết ơn.

Để viết phương trình mặt phẳng \( (\alpha) \) đi qua ba điểm \(M(1; 1; 1)\), \(N(4; 3; 2)\), \(P(5; 2; 1)\), ta cần tìm được vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

Bước 1: Xác định hai vectơ không cùng phương dọc với nhau qua các điểm đã cho.
\[
\vec{u} = \vec{MN} = N - M = (4 - 1) \vec{i} + (3 - 1) \vec{j} + (2 - 1) \vec{k} = 3\vec{i} + 2\vec{j} + \vec{k}
\]
\[
\vec{v} = \vec{MP} = P - M = (5 - 1) \vec{i} + (2 - 1) \vec{j} + (1 - 1) \vec{k} = 4\vec{i} + \vec{j}
\]

Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng bằng tích có hướng của hai vectơ \( \vec{u} \) và \( \vec{v} \).
\[
\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
3 & 2 & 1 \\
4 & 1 & 0
\end{vmatrix} = -3\vec{i} - 8\vec{j} + 5\vec{k}
\]

Bước 3: Sử dụng công thức tổng quát để viết phương trình mặt phẳng \( (\alpha) \) đi qua ba điểm đã cho.
\[
-3(x - 1) - 8(y - 1) + 5(z - 1) = 0
\]
\[
-3x + 3 - 8y + 8 + 5z - 5 = 0
\]
\[
-3x - 8y + 5z + 6 = 0
\]

Vậy phương trình mặt phẳng \( (\alpha) \) đi qua ba điểm \(M(1; 1; 1)\), \(N(4; 3; 2)\), \(P(5; 2; 1)\) là: \(-3x - 8y + 5z + 6 = 0\).

Cách 6: Sử dụng phương pháp giải hệ phương trình tìm phương trình mặt phẳng qua ba điểm. Giải hệ phương trình ba phương trình với 4 ẩn x, y, z, d để tìm ra các hệ số của phương trình mặt phẳng. Sau đó suy ra phương trình mặt phẳng.

Cách 5: Sử dụng định lý về phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm: lấy các vector u = MN và v = MP. Tính vector pháp tuyến n = u x v. Thay vào phương trình mặt phẳng: ax + by + cz + d = 0. Với d được suy ra từ phương trình mặt phẳng qua điểm M.

Cách 4: Sử dụng công thức phương trình mặt phẳng với phép phân số. Đặt phương trình mặt phẳng là (x - x₁)/(x₂ - x₁) = (y - y₁)/(y₂ - y₁) = (z - z₁)/(z₂ - z₁). Tính tỉ số giữa các hệ số x, y, z ta được phương trình mặt phẳng.

Cách 3: Sử dụng định lý về điểm và phương trình mặt phẳng: cho ba điểm M, N, P. Ta lấy hai vector u = MN và v = MP. Tính tích có hướng n = u x v. Rồi suy ra phương trình mặt phẳng qua M với v chỉ số n.