Cho abc=1 và a+b+c>1/a+1/b+1/c Chứng minh (a-1)(b-1)(c-1)>0
Làm ơn, nếu ai biết thông tin về câu hỏi này, có thể chia sẻ với mình được không? Mình sẽ rất biết ơn!

Phương pháp giải:

Ta có abc=1 và a+b+c > 1/a + 1/b + 1/c

Đặt x = a - 1, y = b - 1, z = c - 1, ta có a = x + 1, b = y + 1, c = z + 1.

Khi đó, abc = (x + 1)(y + 1)(z + 1) = xyz + xy + yz + zx + x + y + z + 1 = 1.

Ta cũng có a + b + c > 1/a + 1/b + 1/c <=> x + y + z > 1/(x+1) + 1/(y+1) + 1/(z+1).

Ta cần chứng minh (a-1)(b-1)(c-1) > 0 <=> xyz > 0 <=> x, y, z cùng dấu.

Giả sử x, y, z đều âm. Khi đó, abc = (x + 1)(y + 1)(z + 1) < 0, mâu thuẫn. Vậy x, y, z cùng dấu.

Với x, y, z dương, ta có (x+1)(y+1)(z+1) = xyz + xy + yz + zx + x + y + z + 1 > xyz.

Do đó, ta chứng minh được (a-1)(b-1)(c-1) > 0.

Câu trả lời: (a-1)(b-1)(c-1) > 0.

Từ đó, ta có: (a + b + c) - (1/a + 1/b + 1/c) >= 3 - 3 = 0. Vậy ta có (a-1)(b-1)(c-1) > 0.

Đồng thời, áp dụng Bất đẳng thức AM-GM ta được: a + b + c >= 3(abc)^(1/3) = 3

Ta có: a + b + c > 1/a + 1/b + 1/c <=> (a + b + c) - (1/a + 1/b + 1/c) > 0

Ta có: abc = 1 <=> 1 = (a)(b)(c)