Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ $Oxy$, cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $C\left( 1;5 \right)$ và $d$ tạo với hai tia $Ox$, $Oy$ một tam giác có diện tích bằng $10$. Viết phương trình đường thẳng $d$.
Chào mọi người, mình đang gặp chút rắc rối. Có ai có thể dành chút thời gian để giúp mình giải đáp câu hỏi này không?

Mặt phẳng tọa độ Oxy (hay còn gọi là hệ trục tọa độ Oxy) là một hệ trục định hướng trong không gian hai chiều. Nó được sử dụng để biểu diễn các điểm trong không gian 2D thông qua cặp tọa độ (x, y). Trục hoành Ox là trục ngang và trục tung Oy là trục dọc trong mặt phẳng tọa độ Oxy .

Để giải bài toán trên, ta cần tìm phương trình của đường thẳng $d$.

Gọi $A$ là giao điểm của đường thẳng $d$ với trục $Ox$, $B$ là giao điểm của đường thẳng $d$ với trục $Oy$.

Khi đó, tam giác $OAB$ có diện tích bằng 10. Ta có: S = $\dfrac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|$, với A(0, y1), B(x2, 0), C(1, 5).

$10 = \dfrac{1}{2} \left| 0(5) + 1(0) + x(5) \right|$

$10 = \dfrac{1}{2} \left| 5x \right|$

$20 = \left| 5x \right|$

$5x = 20$ hoặc $5x = -20$

$x = 4$ hoặc $x = -4$.

Do đó, phương trình đường thẳng $d$ sẽ có dạng $y = kx + m$, với $k$ là hệ số góc và $m$ là hệ số tự do.

Ta có thể tìm hệ số góc bằng cách tính $\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Gọi (x, y) là một điểm thuộc đường thẳng d, ta có:

$\dfrac{y - 5}{x - 1} = \dfrac{5 - 0}{0 - 1}$

$\dfrac{y - 5}{x - 1} = -5$

$y - 5 = -5x + 5$

$y = -5x + 10$

Vậy, phương trình đường thẳng d là $y = -5x + 10$.

Từ phương trình đã tính được ở câu trả lời 1, ta suy ra $|c - 5| = 20$. Với điểm $C(1;5)$ nằm trên đường thẳng $d$, ta thay vào phương trình ta được phương trình đường thẳng $d$ là $y = 20x - 15$.

Ta biểu diễn phương trình đường thẳng $d$ dưới dạng $y = mx + c$ với $m$ là hệ số góc của đường thẳng. Gọi $A$ là giao điểm của $d$ với trục hoành $Ox$ và $B$ là giao điểm của $d$ với trục tung $Oy$. Khi đó, diện tích tam giác $OAB$ có thể tính được bằng $10$. Từ đó suy ra $S_{OAB} = \frac{1}{2} |1 \cdot c - 5 \cdot 1| = 10$.