Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P): 3x-2y-z+5=0  và đường thẳng  ∆ :   x - 1 2   =   y - 7 1   =   z - 3 4   . Gọi (Q)  là mặt phẳng chứa đường thẳng ∆  và song song với (P) . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P)  và (Q) . A.  9 14 B.  9 14 C.  3 14 D.  3 14
Mọi người thân mến, mình đang thật sự cần một lời khuyên cho câu hỏi này. Mọi người có thể hỗ trợ mình không?

Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), ta cần tìm được phương trình của mặt phẳng (Q) trước.

Vì (Q) chứa đường thẳng ∆ và song song với (P), nên vector pháp tuyến của (Q) cũng phải song song với vector pháp tuyến của (P). Do đó, vector pháp tuyến của (Q) cũng có dạng (3,-2,-1).

Khi đó, phương trình của mặt phẳng (Q) có thể viết dưới dạng: 3x - 2y - z + d = 0, với d là một số thực cần tìm.

Vì (Q) chứa đường thẳng ∆, nên điểm M(1, 7, 3) thuộc mặt phẳng (Q). Thay tọa độ của M vào phương trình của (Q), ta có:

3(1) - 2(7) - (3) + d = 0
⇔ 3 - 14 - 3 + d = 0
⇔ -14 + d = 0
⇔ d = 14

Vậy, phương trình của mặt phẳng (Q) là: 3x - 2y - z + 14 = 0.

Dựa vào các thông tin đã tìm được, ta tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng công thức:

d = |(A2x1 + B2y1 + C2z1 + D2) / sqrt(A2^2 + B2^2 + C2^2)|,

trong đó, (A2, B2, C2) và D2 là hệ số của mặt phẳng (Q), và (x1, y1, z1) là một điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P).

Ta có: (A2, B2, C2) = (3, -2, -1), D2 = 14, và chọn điểm (x1, y1, z1) = (0, 0, 0) là điểm thuộc (P).

Thay các giá trị vào công thức tính khoảng cách, ta có:

d = |(3(0) - 2(0) - (0) + 14) / sqrt(3^2 + (-2)^2 + (-1)^2)| = |14 / sqrt(14)| = |14 / 14| = 1.

Vậy, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là 1. Do đó, câu trả lời là D. 3 14.

Cách 2: Sử dụng vector pháp tuyến của mặt phẳng. Gọi v1 = (3, -2, -1) là vector pháp tuyến của mặt phẳng (P). Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) chính là khoảng cách giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) khi coi (Q) như một điểm. Do (Q) chứa đường thẳng ∆, vì vậy đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (Q), từ đó ta có thể tìm được một điểm A thuộc (Q). Sau đó, tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng công thức khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng. Kết quả chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Cách 1: Sử dụng công thức khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng khoảng cách gốc của (Q) và (P). Ta đã biết (P) có phương trình 3x - 2y - z + 5 = 0 và (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng ∆ và song song với (P). Đường thẳng ∆ có véc-tơ chỉ phương (1/2, 7/1, 3/4). Vậy véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng (Q) cũng ứng với véc-tơ chỉ phương của đường thẳng ∆, suy ra (Q) có phương trình ax + by + cz + d = 0. Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng ∆, nên ta có thể tìm được véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q). Sau đó, áp dụng công thức khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng, tìm được khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).