Trong không gian Oxyz hãy viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm \(A\left(1;0;0\right);B\left(0;-2;0\right);C\left(0;0;4\right)\)  và gốc tọa độ. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó ?
Hey cả nhà, mình đang bí bách quá, có ai có thể bỏ chút thời gian giúp mình với câu hỏi này được không?

Để giải bài toán này, ta sử dụng phương pháp sử dụng ma trận. Cho ta một mặt cầu đi qua 4 điểm thì ta có thể tạo thành một hệ phương trình:
\(\begin{cases}
(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2\\
(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2+(z_1-z_0)^2=R^2\\
(x_2-x_0)^2+(y_2-y_0)^2+(z_2-z_0)^2=R^2\\
(x_3-x_0)^2+(y_3-y_0)^2+(z_3-z_0)^2=R^2
\end{cases}\)
trong đó, \((x_0, y_0, z_0)\) là tọa độ tâm mặt cầu, \(R\) là bán kính mặt cầu, và \((x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), (x_3, y_3, z_3)\) là tọa độ của các điểm A, B, C.

Áp dụng phương pháp này vào bài toán, ta có hệ phương trình:
\(\begin{cases}
(x-0)^2+(y-0)^2+(z-0)^2=R^2\\
(x-1)^2+(y-0)^2+(z-0)^2=R^2\\
(x-0)^2+(y+2)^2+(z-0)^2=R^2\\
(x-0)^2+(y-0)^2+(z-4)^2=R^2
\end{cases}\)
Hoặc viết lại hệ phương trình dưới dạng ma trận:
\(\begin{pmatrix}
x^2+y^2+z^2 & 1 & 0 & 0 & R^2\\
x^2+y^2+z^2 & 1 & 0 & 0 & R^2\\
x^2+y^2+z^2 & 0 & 1 & 0 & R^2\\
x^2+y^2+z^2 & 0 & 0 & 1 & R^2\\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1\\
x\\
y\\
z\\
R^2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0\\
1\\
4\\
16\\
\end{pmatrix}\)

Giải hệ phương trình trên, ta tìm được giá trị của \(x_0, y_0, z_0\) là tạo độ tâm mặt cầu và giá trị của \(R\) là bán kính của mặt cầu.

Tiếp theo, thay vào B(0;-2;0) ta có (0-a)^2 + (-2-b)^2 + (0-c)^2 = r^2.

Thay vào đó các giá trị của A(1;0;0) ta có (1-a)^2 + (0-b)^2 + (0-c)^2 = r^2.

Phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(1;0;0), B(0;-2;0), C(0;0;4) và gốc tọa độ có dạng (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2.