Tìm số hạng không chứa \(x\)  của khai triển: \(\left(x\dfrac{2}{x}\right)^8\)
Mình đây, cần một chuyên gia tốt bụng giải cứu ngay lập tức! Có ai có câu trả lời đầy đủ cho câu hỏi này, mình xin trả lời ngược câu hỏi của Mọi người!

Để tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển \(\left(x\dfrac{2}{x}\right)^8\), ta sử dụng công thức khai triển Newton:

\((a+b)^n = C_n^0a^n b^0 + C_n^1a^{n-1}b^1 + C_n^2a^{n-2}b^2 + \ldots + C_n^n a^0 b^n\)

Ở đây, ta có thể thấy trong \(\left(x\dfrac{2}{x}\right)^8\), ta có \(a = x\), \(b = \dfrac{2}{x}\) và \(n = 8\).

Áp dụng công thức khai triển và loại bỏ các số hạng chứa \(x\), ta có:

\(\left(x\dfrac{2}{x}\right)^8 = C_8^0x^8 \left(\dfrac{2}{x}\right)^0 + C_8^1x^7 \left(\dfrac{2}{x}\right)^1 + C_8^2x^6 \left(\dfrac{2}{x}\right)^2 + \ldots\)

Ta có thể rút gọn các số hạng chứa \(x\):

\(\left(x\dfrac{2}{x}\right)^8 = C_8^0 \cdot 1 + C_8^1 \cdot 2x + C_8^2 \cdot 4x^2 + \ldots\)

Từ đó, ta thấy rằng các số hạng chứa \(x\) là \(C_8^1 \cdot 2x\), \(C_8^2 \cdot 4x^2\),...

Vậy, số hạng không chứa \(x\) là \(C_8^0 \cdot 1 = 1\).

Đáp số: Số hạng không chứa \(x\) trong khai triển của \(\left(x\dfrac{2}{x}\right)^8\) là 1.

Câu trả lời 1:

Để tìm số hạng không chứa x trong khai triển: \(\left(x\dfrac{2}{x}\right)^8\), ta sử dụng chúng ta sẽ sử dụng công thức tổng quát cho khai triển của một biểu thức mũ bất kỳ:
\((a+b)^n = \binom{n}{0}a^nb^0 + \binom{n}{1}a^{n-1}b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + ... + \binom{n}{n-1}a^1b^{n-1} + \binom{n}{n}a^0b^n\)

Áp dụng công thức trên vào khai triển \(\left(x\dfrac{2}{x}\right)^8\), ta có:
\(\left(x\dfrac{2}{x}\right)^8 = \binom{8}{0}x^8\left(\dfrac{2}{x}\right)^0 + \binom{8}{1}x^7\left(\dfrac{2}{x}\right)^1 + \binom{8}{2}x^6\left(\dfrac{2}{x}\right)^2 + ... + \binom{8}{6}x^2\left(\dfrac{2}{x}\right)^6 + \binom{8}{7}x^1\left(\dfrac{2}{x}\right)^7 + \binom{8}{8}x^0\left(\dfrac{2}{x}\right)^8\)

Để tìm số hạng không chứa x, ta chỉ quan tâm đến các số hạng có \(\dfrac{2}{x}\) mũ bằng 0. Tức là, ta chỉ cần xem các số hạng sau:
\(\binom{8}{0}x^8\left(\dfrac{2}{x}\right)^0 = \binom{8}{0}x^8 = x^8\)

Vậy số hạng không chứa x của khai triển \(\left(x\dfrac{2}{x}\right)^8\) là \(x^8\).

Câu trả lời 2:

Ta có thể sử dụng quy tắc mũ để giải bài toán này.

Khi một biểu thức có dạng \((a \cdot b)^n\), ta có thể rút gọn thành \(a^n \cdot b^n\).

Áp dụng quy tắc này vào khai triển \(\left(x\dfrac{2}{x}\right)^8\), ta có:
\(\left(x\dfrac{2}{x}\right)^8 = x^8 \cdot \left(\dfrac{2}{x}\right)^8\)

Từ đây, ta thấy rằng \(\left(\dfrac{2}{x}\right)^8\) không chứa x, vì chỉ có một mũ x trong khai triển ban đầu.

Vậy số hạng không chứa x của khai triển \(\left(x\dfrac{2}{x}\right)^8\) là \(x^8 \cdot \left(\dfrac{2}{x}\right)^8\) hay đơn giản là \(\left(\dfrac{2}{x}\right)^8\).