Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: x = - 2 + 4 t y = 1 - 4 t z = - 2 + 3 t ;   ∆ :   x = - 2 + t ' y = 1 + n t ' z = - 2 + t '  và mặt phẳng (P): 2x-y+2z+1=0. Biết rằng ∆  song song với (P) và  ∆   tạo với d một góc bé nhất, khi đó giá trị của biểu thức  m 2 + n 2 A . 4. B. 13. C. 8.  D. 25.
Mình cảm thấy hơi mắc kẹt và không chắc làm thế nào để tiếp tục làm câu hỏi này. Ai có thể giành chút thời gian để giúp mình với được không?

Qua việc tính toán góc giữa ∆ và d, ta suy ra được m 2 + n 2 = 8. Vậy câu trả lời là C.

Xác định được vector chỉ phương của đường thẳng d và ∆ là (4, -4, 3) và (1, n, 1) tương ứng. Vì ∆ và (P) song song, suy ra (1, n, 1) vuông góc với vector pháp tuyến của (P) là (2, -1, 2), từ đó tìm được n = -1. Do đó, m 2 + n 2 = 25.

Góc giữa ∆ và d cũng chính là góc giữa vector chỉ phương của ∆ và vector chỉ phương của d. Ta tính được cos(∠∆d) = |(4, -4, 3) . (2, -4, 3)| / √(16 + 16 + 9) * √(4 + 16 + 9). Do đó, m 2 + n 2 = 8.

Ta có thể đặt vector chỉ phương của đường thẳng d là (4, -4, 3) và của đường thẳng ∆ là (1, n, 1). Vì ∆ song song với (P), nên (1, n, 1) song song với vector pháp tuyến của mặt phẳng (P), suy ra n = -1. Từ đó tính được m 2 + n 2 là 13.

Chúng ta có thể suy ra được rằng vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) là (2, -1, 2). Với điểm M(x, y, z) trên đường thẳng ∆, ta có thể tính được góc giữa ∆ và d bằng công thức cos(∠∆d) = |(2, -4, 3) . (2, -1, 2)| / √(4 + 16 + 9) * √(4 + 1 + 4). Từ đó suy ra được giá trị của m 2 + n 2 là 4.