Cho C= 1+3+3^2+3^3+...+3^11. Chứng minh rằng  a, C chia hết cho 13 b, C chia hết cho 40
Xin chào mọi người, mình đang gặp chút vấn đề khó khăn, Bạn nào biết có thể giúp mình giải đáp được không?

Phương pháp giải:

a, Để chứng minh C chia hết cho 13, ta có thể chứng minh rằng tổng 12 số hạng đầu tiên của dãy số 3^k (k chạy từ 0 đến 11) chia hết cho 13. Ta có thể sử dụng định lý cấp số nhân để tính tổng này.

b, Để chứng minh C chia hết cho 40, ta có thể sử dụng phương pháp đổi số hệ cơ số từ 3 sang 10 để tính tổng C rồi kiểm tra tính chia hết cho 40.

Câu trả lời:

a, Tổng 12 số hạng đầu tiên của dãy số 3^k (k chạy từ 0 đến 11) chia hết cho 13.

b, Sử dụng phương pháp đổi hệ cơ số từ 3 sang 10, ta tính được C chia hết cho 40.

Dễ dàng thấy (3^6 - 1) = (3^3 - 1)(3^3 + 1) = 26*28 = 728. Vậy C chia hết cho cả 13 và 2.

Vì (3^12 - 1) = (3^6 - 1)(3^6 + 1) = (3^6 - 1) (3^3 - 1) (3^3 + 1), nên ta chỉ cần chứng minh (3^6 - 1) chia hết cho 13 và 2.

Do 13 là số nguyên tố nhỏ hơn 36 (2*3*3), nên ta chỉ cần chứng minh (3^12 - 1) chia hết cho 13 và 2.

Suy ra C= (3^12 - 1) / 2.