Tam giác abc(3 góc nhọn) có AD và BE là 2 đường cao cắt nhau tại H.  a c/m tam giác aAEH đồng dạng tam giác BDH  b, c/m HA.ED=AB.HE c, Nếu AC=5cm, AD=3cm. Tính tỉ số DB/DH. mình chỉ cần câu b và c thôi .
Tôi biết rằng đây có thể không phải là thời điểm thích hợp, nhưng tôi thực sự cần sự giúp đỡ từ các Bạn. Ai có thể phân tích vấn đề này cho tôi với?

Phương pháp giải:

a) Ta cần chứng minh tam giác \( \triangle AAEH \) đồng dạng với tam giác \( \triangle BDH \).

Gọi \( \angle A = \angle B \) (do đề cho tam giác abc có 3 góc nhọn),

\( \angle HAE = \angle HBD \) (do AD và BE là hai đường cao của tam giác),

\( \angle AHE = \angle DHB = 90^{\circ} \) (do AD và BE là hai đường cao của tam giác),

\( \angle AEH = \angle DBH \) (do AD và BE cắt nhau tạo ra góc bằng nhau).

Vậy ta chứng minh được tam giác \( \triangle AAEH \) đồng dạng với tam giác \( \triangle BDH \).

b) Ta cần chứng minh \( HA \cdot ED = AB \cdot HE \).

Áp dụng tính chất các tam giác đồng dạng:

\( \frac{AE}{BD} = \frac{AH}{BH} \)

\( \frac{AH}{AB} = \frac{AE}{BD} \)

\( AH = \frac{AB \cdot AE}{BD} \)

Tương tự:

\( HE = \frac{BD \cdot AE}{BD} = AE \)

Vậy: \( HA \cdot ED = AB \cdot HE \).

c) Ta có AC = 5cm, AD = 3cm.

Để tính tỉ số DB/DH, ta áp dụng định lí đường cao trong tam giác vuông: \( DH^2 = HD \cdot HB \).

Gọi x là độ dài của DB, khi đó DH = x và HB = x - 3.

Ta có: \( x^2 = 3(x-3) \)

Giải phương trình trên ta được x = 6.

Vậy tỉ số DB/DH = 6/3 = 2.

Vậy câu trả lời cho câu b và c là :

b) Chứng minh được: \( HA \cdot ED = AB \cdot HE \)

c) Tỉ số DB/DH = 2

Tóm lại, từ câu b và c, chúng ta đã chứng minh được tam giác AAEH đồng dạng tam giác BDH và tính được tỉ số DB/DH khi biết AC và AD. Các bước trên đều dựa trên kiến thức cơ bản về hình học và tỷ lệ của các đại lượng trong tam giác.

Nếu AC = 5cm, AD = 3cm, ta cũng có: AH = 5 - 3 = 2cm, HD = DC - AD = 5 - 3 = 2cm. Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác HAD, ta có: HD^2 + AH^2 = AD^2 => 2^2 + 3^2 = x^2 => x = √13cm. Từ đó ta tính được tỉ số DB/DH = √13/2.

Để chứng minh HA.ED = AB.HE, ta sử dụng định lí về tỷ lệ đồng dạng của tam giác. Theo định lí đó, ta có: HA/AB = ED/HE. Từ đó suy ra HA.ED = AB.HE.

Để chứng minh tam giác AAEH đồng dạng tam giác BDH, ta cần chứng minh hai cặp góc của hai tam giác đó bằng nhau. Ta có: góc AHE = góc BHD (cùng là góc nhọn nằm giữa hai đường cao), góc AAE = góc BDH (cùng là góc nhọn ở đỉnh của tam giác). Vậy ta chứng minh được tam giác AAEH đồng dạng tam giác BDH.