Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(1; 1; 1) vuông góc với đường thẳng d: \(\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{2}\)  sao cho khoảng cách từ B(2; 0; 1) đến ∆ nhỏ nhất.
Mọi người ơi, mình rất cần trợ giúp của các Bạn lúc này. Có ai sẵn lòng chia sẻ kiến thức giúp mình vượt qua vấn đề này không?

Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau đây:

Bước 1: Tìm phương vector của đường thẳng d từ phương trình đường thẳng.
Với đường thẳng d: \(\frac{x}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{2}\), chúng ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng chung P: \(x-1=y-1=2(z-1)\).
Lấy phương trình chung P và giải hệ phương trình \(\begin{cases} x-1=2(z-1) \\ y-1=2(z-1) \\ \end{cases}\) để tìm phương trình vector của đường thẳng d.

Suy ra, một phương trình chung P của đường thẳng d là \(\begin{cases} x=2z-1\\ y=2z-1\\ \end{cases}\).

Vậy, một phương vector của đường thẳng d là \(\vec{v}=(2, 2, 1)\).

Bước 2: Tìm phương vector của đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng d.
Do đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng d nên phương vector của ∆ và phương vector của d vuông góc với nhau.
Vì vậy, chúng ta có phương vector của ∆ là \(\vec{u}=(2, 2, 1)\perp(2, 2, 1)\), tức là \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).

Bước 3: Tìm phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1, 1, 1) và có phương vector \(\vec{u}\).
Phương trình đường thẳng ∆ có dạng \(\frac{x-1}{u_1}=\frac{y-1}{u_2}=\frac{z-1}{u_3}\), trong đó \(\vec{u}=(u_1, u_2, u_3)\) là phương vector của ∆.

Thay \(\vec{u}=(2, 2, 1)\) vào phương trình đường thẳng ∆, ta có: \(\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{1}\).
Đặt \(\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{2}=t\), với \(t\) là một tham số thực.

Khi đó, phương trình vector của đường thẳng ∆ được viết dưới dạng chúng ta có phương trình vector của đường thẳng ∆ là \(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1+2t \\ 1+2t \\ 1+t \end{pmatrix}\).

Bước 4: Tìm điểm chung P(x,y,z) của đường thẳng ∆ và đường thẳng d.
Để tìm điểm chung P, ta giải hệ phương trình \(\begin{cases} x=2z-1\\ y=2z-1\\ x=1+2t\\ y=1+2t\\ z=1+t \end{cases}\).

Từ 2 phương trình x=2z-1 và y=2z-1, ta có: \(1+2t=2(1+t)-1\Leftrightarrow2t=1\).
Suy ra, \(t=\frac{1}{2}\).
Thay \(t=\frac{1}{2}\) vào các phương trình x=1+2t, y=1+2t, z=1+t, ta có: \(x=2, y=2, z=\frac{3}{2}\).

Vậy, điểm chung P của 2 đường thẳng là P(2, 2, 3/2).

Bước 5: Tìm khoảng cách từ điểm B(2, 0, 1) đến đường thẳng ∆.
Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng ∆ được tính bằng khoảng cách từ điểm B đến điểm chung P.

Ta có: \(d(P, B)=\sqrt{(x_B-x_P)^2+(y_B-y_P)^2+(z_B-z_P)^2}=\sqrt{(2-2)^2+(0-2)^2+(1-\frac{3}{2})^2}=\frac{1}{2}\).

Vậy, khoảng cách từ B đến ∆ nhỏ nhất là 1/2.

Vậy, câu trả lời cho câu hỏi trên là khoảng cách từ B(2, 0, 1) đến ∆ nhỏ nhất là 1/2.

Đường thẳng d được cho bởi hệ số điều chỉnh (1, 1, 2) và điểm qua (1, 1, 1). Để ∆ vuông góc với d, ta cần tìm vector chỉ phương của ∆, và nó vuông góc với (1, 1, 2). Từ đó, ta có hệ phương trình vector (a, a, 2a) x (1, 1, 2) = 0. Giải hệ phương trình ta được a = 0. Vậy phương trình ∆ là (x - 1) = 0, (y - 1) = 0, (z - 1) = 0.

Đường thẳng d có vector chỉ phương (1, 1, 2) nên tại mọi điểm M(x, y, z) trên d, ta có vector ứng với đường thẳng ∆ là (1, 1, 2) x (x - 1, y - 1, z - 1) = 0. Ta có định lí: hai vector cùng chiều thì tích vô hướng bằng 0. Khi giải phương trình ta được phương trình ∆ là x - 1 = 0, y - 1 = 0, z - 1 = 0.

Đường thẳng d có vector chỉ phương (1, 1, 2) nên một điểm M(x, y, z) trên d có tọa độ (1 + t, 1 + t, 1 + 2t) với t là tham số. Để ∆ đi qua A(1, 1, 1) thì tọa độ của A phải thỏa mãn phương trình đường thẳng ∆. Ta có (1 - 1) = a(1 - 1), (1 - 1) = a(1 - 1), (1 - 1) = a(2 - 1). Giải hệ phương trình ta được a = 0. Vậy phương trình ∆ là (x - 1) = 0, (y - 1) = 0, (z - 1) = 0.

Phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với d được xác định bởi vector pháp tuyến của d và đi qua A(1, 1, 1). Đường thẳng d có vector pháp tuyến (1, 1, 2) nên vector pháp tuyến của ∆ cũng vuông góc với (1, 1, 2). Vậy vector pháp tuyến của ∆ là a(1, 1, 2) với a ≠ 0. Sử dụng công thức vector phương trình đường thẳng, ta có phương trình đường thẳng ∆ là (x-1) = a(1-1), (y-1) = a(1-1), (z-1) = a(2-1).