Biết sin x + cos x = m. Tìm \(\left|\sin^4x-\cos^4x\right|\) . Chứng minh rằng \(\left|m\right|\le\sqrt{2}\)
Chào cả nhà, mình đang gặp một chút vấn đề khó khăn, Bạn nào biết có thể giúp mình giải đáp câu hỏi này được không ạ?
Các câu trả lời
Câu hỏi Toán học Lớp 10
Câu hỏi Lớp 10
Bạn muốn hỏi điều gì?
Đỗ Văn Giang
Để giải câu hỏi này, ta có thể dùng công thức nhân tổng và biến đổi sin^4x và cos^4x thành biểu thức chứa sinx + cosx. Ta có: sin^4x - cos^4x = (sin^2x + cos^2x)(sin^2x - cos^2x) = (1)(sin^2x - cos^2x) = sin^2x - cos^2x = (sinx + cosx)(sinx - cosx) = m(sinx - cosx) Với sinx + cosx = m, ta có: sinx - cosx = 1/(sinx + cosx) sin^4x - cos^4x = m/(sinx + cosx) = m/m = 1 Để chứng minh rằng |m| ≤ √2, ta có: sinx + cosx = m (sin^2x + cos^2x) + 2sinxcosx = m^2 1 + sin2x = m^2 sin2x = m^2 - 1 |sin2x| = |m^2 - 1| ≤ 1 |m^2 - 1| ≤ 1 |m| ≤ √2Vậy ta có kết quả là |sin^4x - cos^4x| = 1 và |m| ≤ √2.
Đỗ Văn Hạnh
{ "content1": "Ta có \( m = \sin x + \cos x \). Đặt \( a = \sin x \) và \( b = \cos x \), suy ra \( a + b = m \).", "content2": "Ta có \( \left| \sin^4 x - \cos^4 x \right| = \left| (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) \right| = \left| (a + b)(a - b)(a^2 + b^2) \right| \)", "content3": "Do đó, \( \left| \sin^4 x - \cos^4 x \right| = \left| m(a - b)(a^2 + b^2) \right| = \left| m(a^2 + ab + b^2) \right| \)", "content4": "Ta có \( m = \sqrt{2} \) khi \( x = \frac{\pi}{4} \), suy ra \( \left| m \right| = \sqrt{2} \) là giá trị lớn nhất của \( \left| \sin^4 x - \cos^4 x \right| \)", "content5": "Kết luận: \( \left| \sin^4 x - \cos^4 x \right| = \left| m(a^2 + ab + b^2) \right| \). Chứng minh \( \left| m \right| \leq \sqrt{2} \) bằng việc tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( \left| \sin^4 x - \cos^4 x \right| \)"}