Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BH. Từ điển M trên cạnh BC kẻ MP vuông góc AB, MQ vuông góc AC. CMR MP+MQ=BH
Help me, please! Mình đang tìm kiếm câu trả lời cho một câu hỏi cực kỳ khó khăn và mình cần sự trợ giúp từ cộng đồng. Ai có thể giải đáp giúp mình?

Để giải câu hỏi trên, ta có thể sử dụng các phương pháp sau:

Phương pháp 1:
Ta sử dụng định lí cơ sở hình học:

Trong tam giác vuông, đường cao chia tam giác thành 2 tam giác vuông cân. Vì tam giác ABC cân tại A nên BM=CM.

Ta có MP+MQ=MP+(CM-MP)=CM=BH (vì tam giác ABC cân tại A và đường cao BH).

Phương pháp 2:
Gọi a là chiều dài cạnh bên của tam giác ABC. Khi đó, ta có BM=CM=a/2 (vì tam giác ABC cân tại A).
Áp dụng định lý Pythagore ta có:
BH^2+AB^2=AH^2
=> BH^2+a^2=(a/2)^2
=> BH^2=a^2/4
=> BH=a/2

Từ đó ta cũng được MP+MQ=a/2=BH

Vậy, MP+MQ=BH.

Nhưng ta biết rằng trong tam giác ABC cân tại A, ta có ∠B = ∠C. Do đó, cos(B) + cos(C) = 2*cos(B) = 2*(cos(∠B)) = 2*(cos(∠C)) = cos(A) = 1. Vậy MP + MQ = BH * 1 = BH

Do đó, MP + MQ = BH *cos(B) + BH *cos(C) = BH * (cos(B) + cos(C))

Từ tam giác vuông CMQ, ta có: MQ = BH * sin(CMQ) = BH *cos(C)

Từ tam giác vuông BMH, ta có: MP = BH * sin(BMH) = BH *cos(B)