CMR: 9n3 +9n2 +3n -16 không chia hết cho 343 Với mọi n thuộc N
Hey cả nhà, mình đang bí bách quá, có ai có thể bỏ chút thời gian giúp mình với câu hỏi này được không?

Để giải câu hỏi trên, ta sẽ sử dụng định lí chia nguyên tố. Ta biết rằng 343 = 7^3. Giả sử đa thức 9n^3 + 9n^2 + 3n - 16 chia hết cho 343, tức là tồn tại số nguyên k sao cho:

9n^3 + 9n^2 + 3n - 16 = 343k

Ta có thể viết lại đa thức ban đầu dưới dạng:

9n^3 + 9n^2 + 3n - 16 = 7^3k

Dễ dàng thấy được rằng 9n^3 + 9n^2 + 3n - 16 ≡ -5 (mod 7). Nhưng -5 không chia hết cho 7 nên đa thức không chia hết cho 343 với mọi n thuộc N.

Vậy kết luận là 9n^3 + 9n^2 + 3n - 16 không chia hết cho 343 với mọi n thuộc N.

Dễ dàng nhận thấy rằng khi n = 1, biểu thức 9n3 + 9n2 + 3n - 16 có giá trị là 5, không chia hết cho 343. Do đó, ta kết luận rằng biểu thức đó không chia hết cho 343 với mọi số nguyên n.

Ta có thể chia biểu thức 9n3 + 9n2 + 3n - 16 cho 343 để kiểm tra. Sau khi chia thì biểu thức có dạng (9n2 - 26n + 343) + 7 không chia hết cho 343. Do đó, suy ra 9n3 + 9n2 + 3n - 16 không chia hết cho 343 với mọi n thuộc N.

Ta có thể chứng minh bằng phương pháp chứng minh từ phản chứng. Giả sử rằng 9n3 + 9n2 + 3n - 16 chia hết cho 343, tức là tồn tại một số nguyên k sao cho 9n3 + 9n2 + 3n - 16 = 343k. Tuy nhiên khi thay n = 1 vào biểu thức trên ta có kết quả không đúng, do đó biểu thức không chia hết cho 343.

Nhìn vào biểu thức 9n3 + 9n2 + 3n - 16, ta thấy rằng nếu n = 1 thì biểu thức này có giá trị là 5, không chia hết cho 343.