Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC.  Khi đó cos(AB, DM) bằng: A .   3 6 B .   2 2 C .   3 2 D .   1 2
Ủa, có ai rành về chủ đề này có thể hỗ trợ mình một chút được không? Mình chân thành cảm ơn trước mọi sự giúp đỡ!

Giả sử chiều dài cạnh của tứ diện đều ABCD là a. Vì ABCD là tứ diện đều nên AB = AD = a. Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = a/2. Áp dụng định nghĩa của cosin trong tam giác ABC, ta có cos(AB, DM) = (AB^2 + DM^2 - BD^2) / (2 * AB * DM). Vì AB = BD trong tứ diện đều nên cos(AB, DM) = (AB^2 + DM^2 - AB^2) / (2 * AB * DM) = DM / (2 * AB) = a / (2 * a√2) = 1 / (2√2) = √2 / (2 * 2) = √2 / 4 = 1/2 * √2/2 = 1/2 * cos(45°). Kết quả là câu trả lời D: 1/2.

Ta có tam giác ABC đều nên góc ABC = 60°. Từ đó, góc BDM = 180° - góc ABC = 180° - 60° = 120°. Vì tứ diện ABCD đều nên góc ABD = 90°. Áp dụng định nghĩa của cosin trong tam giác ABC, ta có cos(AB, DM) = (AB^2 + DM^2 - BD^2) / (2 * AB * DM). Vì AB = BD trong tứ diện đều nên cos(AB, DM) = (AB^2 + DM^2 - AB^2) / (2 * AB * DM) = DM / (2 * AB) = 1 / (2√2) = √2 / (2 * 2) = √2 / 4 = 1/2 * √2/2 = 1/2 * cos(45°). Kết quả là câu trả lời D: 1/2.

Bạn có thể tính cos(AB, DM) bằng cách sử dụng định nghĩa của cosin trong tam giác vuông ABD. Gọi AD = a là cạnh của tứ diện đều ABCD. Ta có AB = a√2. Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = a/2. Áp dụng định nghĩa của cosin trong tam giác vuông ABD, ta có cos(AB, DM) = AM/AB. Vì AM là đường cao của tam giác vuông ABD, ta có AM = √(AD^2 - DM^2) = √(a^2 - (a/2)^2) = √(3a^2/4) = √(3/4) * a. Vậy cos(AB, DM) = (√(3/4) * a)/(a√2) = 0.5√3 = 3√3/6 = 1/2√2 = 1/2 * √2/2 = 1/2 * cos(45°) = 1/2 * cos(AB, BD). Kết quả là câu trả lời D: 1/2.