Bài 31 (trang 19 SGK Toán 9 Tập 1) a) So sánh $\sqrt{25-16}$ và $\sqrt{25}-\sqrt{16}$ ; b) Chứng minh rằng, với $a>b>0$ thì $\sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a-b}$.
Bạn nào có thể dành chút thời gian giải đáp giùm mình câu hỏi này không? Sự giúp đỡ của Mọi người sẽ được đánh giá rất cao!

Để giải bài toán trên, chúng ta thực hiện như sau:

a) Ta có:
$\sqrt{25-16} = \sqrt{9} = 3$

$\sqrt{25}-\sqrt{16} = 5-4 = 1$

Vậy, $\sqrt{25-16} = 3$ và $\sqrt{25}-\sqrt{16} = 1$.

b) Để chứng minh $\sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a-b}$ với $a>b>0$, ta sẽ chứng minh bằng cách bình phương cả hai vế của phương trình:

$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 < (\sqrt{a-b})^2$

$\Rightarrow a + b - 2\sqrt{ab} < a - b$

$\Rightarrow b < \sqrt{ab}$

Vì $b<\sqrt{ab}$ nên ta đã chứng minh được $\sqrt{a}-\sqrt{b} < \sqrt{a-b}$.

Vậy, với $a>b>0$ thì $\sqrt{a}-\sqrt{b} < \sqrt{a-b}$.

Kết luận:
a) $\sqrt{25-16}=3$ và $\sqrt{25}-\sqrt{16}=1$.
b) Với $a>b>0$, ta có $\sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a-b}$.

{
"content1": "a) $\sqrt{25-16} = \sqrt{9} = 3$, và $\sqrt{25}-\sqrt{16} = 5-4 = 1$. Vậy $\sqrt{25-16} > \sqrt{25}-\sqrt{16}$.",
"content2": "b) Ta có: $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a-2\sqrt{ab}+b \\\\
= a+b-2\sqrt{ab} < a+b = (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 \\\\
\Rightarrow \sqrt{a}-\sqrt{b} < \sqrt{a}+\sqrt{b} \\\\
\Leftrightarrow \sqrt{a}-\sqrt{b} < \sqrt{a-b}$.",
"content3": "c) Ta có thể chứng minh bằng định lí sau: $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 < a-b \Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b < a-b \Leftrightarrow -2\sqrt{ab} < 0 \Leftrightarrow \sqrt{ab} > 0$ (đúng với điều kiện $a > b > 0$). Do đó, $\sqrt{a}-\sqrt{b} < \sqrt{a-b}$."
}