Có bao nhiêu cách sắp xếp 12 học sinh đứng thành một hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết rằng trong đó phải có 5 em định trước đứng kề nhau ?
Bạn nào có thể dành chút thời gian giải đáp giùm mình câu hỏi này không? Sự giúp đỡ của Mọi người sẽ được đánh giá rất cao!

Để giải câu hỏi trên, ta sử dụng phương pháp sử dụng nguyên tắc bậc thang.

Bước 1: Đặt 5 em học sinh định trước đứng kề nhau. Ta có 5! cách sắp xếp cho 5 em này.

Bước 2: Bây giờ, ta coi như 5 em đó đã tạo thành một khối, số học sinh còn lại là 12 - 5 = 7.

Bước 3: 7 em còn lại có thể xếp vào những vị trí còn trống giữa các em đã đứng định trước và vị trí trước hoặc sau khối 5 em.

Có 8 vị trí có thể xếp cho 7 em còn lại (5 chấm, 2 vị trí trước & sau và 5 vị trí giữa). Ta có thể xếp các em vào các vị trí trống này bất kỳ cách nào. Chính vì vậy, ta có 7! cách sắp xếp cho 7 em còn lại.

Vậy tổng số cách sắp xếp là 5! x 7! = 120 x 5040 = 604,800.

Vậy có tổng cộng 604,800 cách sắp xếp 12 học sinh theo yêu cầu của đề bài.

Ta có thể coi 12 học sinh như 12 vị trí. Vậy ta phải chọn 5 trong 12 vị trí để đặt 5 em định trước. Số cách chọn là C(12, 5) = 792 cách. Sau khi đặt 5 em định trước vào vị trí đã chọn, ta có 7 vị trí còn lại để xếp 7 em còn lại. Vậy số cách xếp là 7! = 5,040 cách. Kết hợp hai bước trên, ta có tổng cộng 792 * 5,040 = 3,989,280 cách.

Ta có thể xem 5 em định trước như một khối chặt kề nhau. Vậy ta chỉ cần tính xem có bao nhiêu cách xếp 7 học sinh còn lại vào vị trí khác nhau trong khối chặt đó. Ta có 7! cách xếp 7 học sinh còn lại. Kết hợp với khối chặt của 5 em định trước, ta có tổng cộng 5! * 7! = 3,767,040 cách.

Có 8 học sinh khác ngoài 5 em được định trước. Ta có thể coi như 5 em đó như một thực thể chưa di chuyển. Vậy ta có 8+1 thực thể để sắp xếp thành một hàng. Ta có 9 thực thể có thể sắp xếp theo công thức số học. Vậy số cách sắp xếp là 9! = 362,880 cách.

Cách 3: Đầu tiên, ta chọn 5 em định trước đứng kề nhau. Có tổng cộng 12 - 5 + 1 = 8 cách để chọn vị trí cho 5 em này. Sau đó, ta sắp xếp 5 em này theo 5! cách. Tiếp theo, ta có 7 em còn lại, ta sắp xếp chúng theo 7! cách. Vậy tổng số cách sắp xếp là 8 x 5! x 7! = 20,160,000.