CMR: nếu a2+b2+c2 = ab+ac+bc thì a=b=c
Mọi người ạ, mình rất cần sự giúp đỡ của các Bạn để giải quyết câu hỏi này. Cám ơn các Bạn nhiều lắm!

Phương pháp giải:

Để chứng minh điều phải chứng minh, ta sẽ giả sử a ≠ b hoặc a ≠ c hoặc b ≠ c.

Trường hợp 1: a ≠ b
Ta có: a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc
=> a2 - 2ab + b2 + c2 = ac + bc
=> (a - b)2 + c2 = ac + bc
Vì a ≠ b nên (a - b)2 > 0
=> ac + bc > 0
Tuy nhiên, ac + bc ≤ 0 (do a, b, c là các số nguyên)
Dẫn đến mâu thuẫn với giả thuyết ban đầu.

Tương tự, ta có thể chứng minh với trường hợp a ≠ c và b ≠ c.

Vậy, ta chỉ có thể kết luận a = b = c.

Câu trả lời: Điều cần chứng minh là đúng, nếu a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc thì a = b = c.

Giả sử a != b != c, ta có a2 + b2 + c2 > ab + ac + bc hoặc a2 + b2 + c2 < ab + ac + bc

Dùng phương pháp đặt a = b + x, c = b - y (trong đó x, y là số thực), suy ra a = b = c

Su dung công thức (a - b)2 >= 0, (b - c)2 >= 0, (c - a)2 >= 0 ta có a2 + b2 + c2 >= ab + ac + bc

Đặt x = a - b, y = b - c, z = c - a, ta có a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc = x2 + y2 + z2 = 0