Chứng minh rằng nếu p và p² + 8 là các số nguyên tố thì p² + 2 cũng là số nguyên tố
Có ai ở đây rành về vấn đề này không nhỉ? Mình thật sự cần một tay giúp để giải quyết nó, Bạn nào có thể giúp được không?

Giả sử p là số nguyên tố, ta đi chứng minh rằng p² + 2 cũng là số nguyên tố. Vì p là số nguyên tố nên p ≠ 2, vậy p là số lẻ. Ta có thể viết p² + 8 = (p² + 2) + 6. Vì p là số lẻ nên p² + 2 cũng là số lẻ. Như vậy, nếu p² + 2 là số nguyên tố thì p² + 8 cũng là số nguyên tố. Tuy nhiên, giả thiết p và p² + 8 là các số nguyên tố là sai (vì p² + 8 không phải là số nguyên tố). Vậy ta không thể chứng minh được rằng nếu p và p² + 8 là các số nguyên tố thì p² + 2 cũng là số nguyên tố.

Giả sử p là số nguyên tố, ta đi chứng minh rằng p² + 2 cũng là số nguyên tố. Vì p là số nguyên tố nên p ≠ 2, vậy p là số lẻ. Ta có thể viết p² + 8 = (p + 2)(p - 2) + 12. Vì p là số lẻ nên p + 2 và p - 2 là 2 số chẵn liên tiếp. Khi đó, (p + 2)(p - 2) là một tích của 2 số chẵn liên tiếp, nên nó chia hết cho 2. Mà p² + 8 không chia hết cho 2 (vì nếu chia hết thì p cũng chia hết cho 2, mâu thuẫn với giả thiết p là số lẻ). Vậy giả thiết p và p² + 8 là các số nguyên tố là sai. Từ đó suy ra, nếu p và p² + 8 là các số nguyên tố thì p² + 2 không phải là số nguyên tố.

Giả sử p là số nguyên tố, ta đi chứng minh rằng p² + 2 cũng là số nguyên tố. Vì p là số nguyên tố nên p ≠ 2, vậy p là số lẻ. Chia p² + 8 cho p ta được thương là p + 8/p. Vì p là số nguyên tố nên p là ước số của p² + 8. Mà p ≠ 2 nên p không chia hết cho 2. Do đó, p không chia hết cho p² + 8. Khi đó, p + 8/p không phải là số nguyên. Vậy giả thiết p và p² + 8 là các số nguyên tố là sai. Từ đó suy ra, nếu p và p² + 8 là các số nguyên tố thì p² + 2 không phải là số nguyên tố.

Để chứng minh rằng nếu p và p² + 8 là các số nguyên tố thì p² + 2 cũng là số nguyên tố, ta có thể sử dụng phương pháp phản chứng.

Giả sử rằng p và p² + 8 là các số nguyên tố và p² + 2 không phải là số nguyên tố.

Nếu p² + 2 không phải là số nguyên tố, tức là nó có thể phân tích thành tích của hai số nguyên dương khác nhau: p² + 2 = a * b, với a và b là các số nguyên dương và 1 < a ≤ b < p² +2.

Ta sẽ xem xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: a = p. Trong trường hợp này a là số nguyên tố và 1 < a ≤ p < p² + 2. Từ đó suy ra rằng b = (p² + 2) / p ≤ (p² + 2) / 2 < p. Nhưng điều này mâu thuẫn với giả sử ban đầu rằng p là số nguyên tố.

Trường hợp 2: 1 < a < p. Trong trường hợp này a không phải là số nguyên tố mà là một số hợp số. Từ đó ta suy ra rằng b = (p² + 2) / a cũng là một số hợp số. Nhưng lại mâu thuẫn với giả sử ban đầu rằng p² + 2 không phải là số hợp số.

Do đó, nếu p và p² + 8 là các số nguyên tố thì p² + 2 cũng là số nguyên tố.

Vậy câu trả lời cho câu hỏi trên là:
Nếu p và p² + 8 là các số nguyên tố thì p² + 2 cũng là số nguyên tố.