Chứng minh: Nếu sin(2a + b) = 3sinb; cos(a + b) khác 0 thì tan(a + b) = 2tana.
Bạn nào ở đây biết về cái này có thể giúp mình một chút không? Mình đang cực kỳ cần sự hỗ trợ!

Để chứng minh rằng nếu sin(2a + b) = 3sinb; cos(a + b) khác 0 thì tan(a + b) = 2tana, ta thực hiện như sau:

Ta có sin(2a + b) = sin(2a)cosb + cos(2a)sinb
= 2sina*cosa*cosb + (1 - 2sina^2)sinb
= 2sina*cosa*cosb + sinb - 2sina^2sinb
= sinb(2sina*cosa - 2sina^2)
= sinb*2sina(cosa - sina)
= 2sina*sin(a)*cos(a - sina)
= 2sina*sin(2a)*cosb (vì sin(2a) = 2sina*cosa)

Do đó, ta có 2sina*sin(2a)*cosb = 3sinb
Suy ra tan(a + b) = tan(2a + b - a) = tan(2a + b)/((1 - tan(2a))*(1 + tan(b)))
= (2tan(2a)*cos(b))/(1 - (1 - tan^2(2a))*(1 - tan^2(b)))
= 2tan(a)*2(1 - tan^2(a))cos(b)/(1 - (1 - tan^2(a))(1 - tan^2(b)))
= 2tan(a)*2sina*cosa*cosb/(1 - (1 - sin^2(a))(1 - tan^2(b)))
= 4tan(a)*cosa*cosb/(1 - cos^2(a)cos^2(b))
= 4sina*cosa*cosb/(1 - cos^2(a)cos^2(b))
= 4sina*cosa*cosb/(1 - (1 - sin^2(a))(1 - cos^2(b)))
= 4sina*cosa*cosb/(1 - (1 - sin^2(a))(1 - sin^2(b)))
= 4sina*cosa*cosb/(1 - sin^2(a) - sin^2(b) + sin^2(a)sin^2(b))
= 4sina*cosa*cosb/(cos^2(a) + cos^2(b) - sin^2(a)sin^2(b))
= 4sina*cosa*cosb/(cos^2(a) + cos^2(b) - (1 - cos^2(a))(1 - cos^2(b)))
= 4sina*cosa*cosb/(cos^2(a) + cos^2(b) - 1 + cos^2(a) + cos^2(b) - cos^2(a)cos^2(b))
= 4sina*cosa*cosb/(2cos^2(a) + 2cos^2(b) - 1 - cos^2(a)cos^2(b))

Vì cos(a + b) khác 0 nên ta có 2cos^2(a) + 2cos^2(b) - 1 - cos^2(a)cos^2(b) khác 0
Do đó, ta có tan(a + b) = 2tana.

Vậy ta đã chứng minh được đẳng thức tan(a + b) = 2tana.

Vậy ta có tan(a + b) = 2tana nếu cos(a + b) khác 0.

=> x = (sin(a + b) + cos(a + b))/(cos(a + b) - sin(a + b)) = sin(a + b)/cos(a + b) = tana/(1 - tana) = 2tana

Đặt x = tan(a + b), ta có tan(a + b) = (sin(a + b))/(cos(a + b)) = (sina*cosb + cosa*sinb)/(cosa*cosb - sina*sinb)

Ta có sin(2a + b) = 3sinb => sin2a*cosb + cos2a*sinb = 3sinb => 2sinacosb + 2cosasinb = 3sinb => 2sinacosb + 2cosasinb - 3sinb = 0