Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) t a n x > x ( 0 < x < π 2 ) tanx > x (0 < x < \dfrac{\pi}{2}) t a n x > x ( 0 < x < 2 π ​ )                                b) t a n x > x + x 3 3 ( 0 < x < π 2 ) tanx > x + \dfrac{x^3}{3} (0 < x < \dfrac{\pi}{2}) t a n x > x + 3 x 3 ​ ( 0 < x < 2 π ​ )
Mọi người thân mến, mình đang thật sự cần một lời khuyên cho câu hỏi này. Mọi người có thể hỗ trợ mình không?

Để chứng minh các bất đẳng thức trên, chúng ta có thể sử dụng công thức Taylor cho hàm tan(x) và so sánh với giá trị x và \dfrac{x^3}{3} để chứng minh.

1. Chứng minh a) tanx > x (0 < x < \dfrac{\pi}{2}):
Ta có công thức Taylor của hàm tan(x) tại x = 0 là tan(x) = x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2x^5}{15} + ... .
Từ đó, ta thấy rằng với 0 < x < \dfrac{\pi}{2}, ta có tan(x) > x.

2. Chứng minh b) tanx > x + \dfrac{x^3}{3} (0 < x < \dfrac{\pi}{2}):
Tương tự, ta sử dụng công thức Taylor để so sánh giữa tan(x) và x + \dfrac{x^3}{3}.
Khi x = 0, ta có tan(x) = x, và khi x > 0, khả năng cao tan(x) > x + \dfrac{x^3}{3}.

Vậy, ta đã chứng minh được cả hai bất đẳng thức a) và b) đều đúng.

b) Áp dụng các bất đẳng thức cơ bản, ta có
tan(x) = sin(x)/cos(x) > x + x^3/3 khi 0 < x < π/2 (do sin(x) > x, cos(x) > 0). Vậy tanx > x + x^3/3.

b) Ta chứng minh bằng đạo hàm. Với 0 < x < π/2, ta có
(tan(x))' = sec^2(x) - 1 = tan^2(x) > 0. Vậy hàm tanx tăng và vượt hàm x + x^3/3 trên đoạn (0, π/2). Do đó, tanx > x + x^3/3.

a) Giả sử bất đẳng thức tanx < x là đúng, tức là x - tanx > 0. Ta có
lim (x - tanx) = lim (x - sinx/cosx) = lim (cosx - sinx) = 1 > 0 khi x tiến đến 0.
Điều này dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết ban đầu. Vậy tanx > x.

a) Dựa vào đạo hàm của hàm tan(x) và hàm x trên đoạn (0, π/2), ta có
(tan(x))' = sec^2(x) > 1 = x'. Vậy tanx > x.