Viết phương trình đường thẳng đi qua A (2;2) và cắt Ox, Oy tại M, N sao cho tam giác OMN có diện tích bằng 9

Đỗ Minh Vương

Để giải bài toán này, ta cần tìm phương trình của đường thẳng đó. Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là y = mx + c. Vì đường thẳng đi qua điểm A(2;2) nên ta có công thức đường thẳng y - y1 = m(x - x1).
Thay vào đó, ta được y - 2 = m(x - 2) ⇔ y = mx - 2m + 2.

Đường thẳng cắt Ox tại M có hoành độ x = 0, nên khi thay x = 0 vào phương trình ta được y = 2 - 2m + 2 = 4 - 2m.
Đường thẳng cắt Oy tại N có tung độ y = 0, nên khi thay y = 0 vào phương trình ta được 0 = mx - 2m + 2 ⇔ x = 2 - 2/m.

Tam giác OMN có diện tích bằng 9, ta có diện tích tam giác bằng 1/2 tổng các tích vô hướng của 2 vector nào đó. Tứ đường thẳng đi qua A(2;2), M(0;4-2m) và N(2-2/m;0) nên ta có vectơ MA(2 - 0; 2 - (4 - 2m)) = (2;2m-2) và vectơ NA(2-2/m - 2; 0-2) = (-2/m;-2). Tính tích vô hướng của 2 vectơ này, ta được:
S = 1/2 * |MA| * |NA| * sin???? = 9
= 1/2 * |(2;2m-2)| * |(-2/m;-2)| * sin???? = 9
= 1/2 * 2 |-2/m - 2(2m - 2)| sin???? = 9
= 1/2 * 2 * |2(2-m/m)| sin???? = 9
= |4(2 - m/m)| sin???? = 9
= 4|2 - m/m| sin???? = 9
= 4|2 - m/m| = 9/sin????
= 4|2 - m/m| = 9

Suy ra, m = 2.5 hoặc m = -2.5.
Phương trình đường thẳng cần tìm là y = 2.5x - 3 hoặc y = -2.5x + 7.

Vậy, phương trình đường thẳng đi qua A(2;2) và cắt Ox, Oy tại M và N sao cho tam giác OMN có diện tích bằng 9 là y = 2.5x - 3 hoặc y = -2.5x + 7.