Viết phương trình đường thẳng đi qua A (2;2) và cắt Ox, Oy tại M, N sao cho tam giác OMN có diện tích bằng 9
Mọi người thân mến, mình đang cảm thấy bế tắc quá. Bạn nào tốt bụng có thể nhân lúc rảnh rỗi giúp mình với câu hỏi này được không?

Để giải bài toán này, ta cần tìm phương trình của đường thẳng đó. Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là y = mx + c. Vì đường thẳng đi qua điểm A(2;2) nên ta có công thức đường thẳng y - y1 = m(x - x1).
Thay vào đó, ta được y - 2 = m(x - 2) ⇔ y = mx - 2m + 2.

Đường thẳng cắt Ox tại M có hoành độ x = 0, nên khi thay x = 0 vào phương trình ta được y = 2 - 2m + 2 = 4 - 2m.
Đường thẳng cắt Oy tại N có tung độ y = 0, nên khi thay y = 0 vào phương trình ta được 0 = mx - 2m + 2 ⇔ x = 2 - 2/m.

Tam giác OMN có diện tích bằng 9, ta có diện tích tam giác bằng 1/2 tổng các tích vô hướng của 2 vector nào đó. Tứ đường thẳng đi qua A(2;2), M(0;4-2m) và N(2-2/m;0) nên ta có vectơ MA(2 - 0; 2 - (4 - 2m)) = (2;2m-2) và vectơ NA(2-2/m - 2; 0-2) = (-2/m;-2). Tính tích vô hướng của 2 vectơ này, ta được:
S = 1/2 * |MA| * |NA| * sin???? = 9
= 1/2 * |(2;2m-2)| * |(-2/m;-2)| * sin???? = 9
= 1/2 * 2 |-2/m - 2(2m - 2)| sin???? = 9
= 1/2 * 2 * |2(2-m/m)| sin???? = 9
= |4(2 - m/m)| sin???? = 9
= 4|2 - m/m| sin???? = 9
= 4|2 - m/m| = 9/sin????
= 4|2 - m/m| = 9

Suy ra, m = 2.5 hoặc m = -2.5.
Phương trình đường thẳng cần tìm là y = 2.5x - 3 hoặc y = -2.5x + 7.

Vậy, phương trình đường thẳng đi qua A(2;2) và cắt Ox, Oy tại M và N sao cho tam giác OMN có diện tích bằng 9 là y = 2.5x - 3 hoặc y = -2.5x + 7.

Sau khi tìm được phương trình đường thẳng đi qua A(2;2) và cắt Ox, Oy tại M, N, bạn có thể kiểm tra lại bằng cách tính diện tích của tam giác OMN để xác định xem có bằng 9 hay không.

Kết hợp (1) và công thức tính diện tích, ta có thể giải hệ phương trình để tìm m và c. Sau đó, substituting các giá trị m và c vào phương trình y = mx + c, ta sẽ có được phương trình đường thẳng cần tìm.

Ta biết rằng tam giác OMN có diện tích bằng 9, ta có diện tích tam giác OMN bằng 0.5 * cạnh * chiều cao. Từ đó, với M(0;0) và N(0;c) tức là cạnh OM = c, ta có 0.5 * c * |2m| = 9.

Vì đường thẳng đi qua A (2;2), ta thay A(2;2) vào phương trình ta được 2 = 2m + c. (1)