Cho x + y = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A = {3^x} + {3^y}.\)
Ai đó ơi, giúp mình với! Mình đang trong tình thế khó xử lắm, mọi người có thể góp ý giúp mình vượt qua câu hỏi này được không?

Cách 3: Giả sử x <= y, từ x + y = 4, ta có x <= 2
Hiển nhiên x + y >= 2
So sánh x + y = 4 và x + y >= 2, ta thấy x + y >= 2.
Mà A = 3^x + 3^y >= 2√(3^x * 3^y) theo định lý AM-GM
=> A >= 2√(3^xy) (1)
Do x + y >= 2, ta có (x + y)^2 >= 4
=> x^2 + y^2 + 2xy >= 4 (2)
Từ (1) và (2), ta có A >= 2√(3^xy) >= 2√3^(4xy/4) = 2√3^xy
Vậy A = (3^x + 3^y) >= 2√3^xy
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y và xy = 2
Nên giá trị nhỏ nhất của A là 2√3^2 = 6.

Cách 2: Từ x + y = 4, ta có x = 4 - y
Thay x vào A = 3^x + 3^y ta được A = 3^(4 - y) + 3^y
Đặt t = 3^y, ta có A = 3^(4 - y) + t
A' = -ln(3) * 3^(4 - y) + 0 = 0
Vậy 3^(4 - y) = 0
=> 4 - y = 0
=> y = 4
Thay y = 4 vào x = 4 - y ta được x = 0
Do đó, giá trị nhỏ nhất của A là A = 3^0 + 3^4 = 1 + 81 = 82.

Cách 1: Giải hệ phương trình x + y = 4 bằng phương pháp bình phương và cộng theo thành phần ta có: (x + y)^2 = 4^2
=> x^2 + y^2 + 2xy = 16
Vì (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy
Nên x^2 + y^2 + 2xy = 16
Mà x^2 + y^2 >= 2xy theo định lý AM-GM
=> 2(x^2 + y^2) >= 2xy + 2xy = 4xy
Nên x^2 + y^2 >= 4xy/2 = 2xy
Mà ta có x^2 + y^2 + 2xy = 16
Vậy 2xy <= 16
=> xy <= 8
Do đó, A = 3^x + 3^y >= 2√(3^x * 3^y) theo định lý AM-GM
=> A >= 2√(3^xy) (1)
Vì x + y = 4
Mà ta có công thức (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab
=> x^2 + y^2 + 2xy = 4^2
=> x^2 + y^2 + 2xy = 16
Nên x^2 + y^2 + 2xy = 16 >= 4xy (2)
Từ (1) và (2), ta có A >= 2√(3^xy) >= 2√3^(4xy/16) = 2√3^xy/2
Vậy A = (3^x + 3^y) >= 2√3^xy/2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y và xy = 4
Nên giá trị nhỏ nhất của A là 2√3^4/2 = 2√3^2 = 6.

Để giải bài toán này, ta sử dụng phương pháp đại số. Ta có hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
x + y &= 4 \quad (1) \\
A &= 3^x + 3^y \quad (2)
\end{cases} \]

Từ phương trình (1), ta có thể suy ra giá trị của y dựa vào giá trị của x (hoặc ngược lại):
\( y = 4 - x \).

Thay giá trị này vào phương trình (2), ta được:
\( A = 3^x + 3^{4-x} \).

Đặt \( f(x) = 3^x + 3^{4-x} \), ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x).

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số, ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm. Đạo hàm của hàm số f(x) là:
\( f'(x) = 3^x \cdot \ln(3) - 3^{4-x} \cdot \ln(3) \).

Đặt \( f'(x) = 0 \), ta có:
\( 3^x \cdot \ln(3) - 3^{4-x} \cdot \ln(3) = 0 \).

Chia cả 2 vế cho \( \ln(3) \), ta có:
\( 3^x = 3^{4-x} \).

Suy ra:
\( x = 4 - x \).
\( 2x = 4 \).
\( x = 2 \).

Thế giá trị này vào phương trình (1) để tìm giá trị của y:
\( 2 + y = 4 \).
\( y = 2 \).

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là:
\( A = 3^2 + 3^2 = 2 \cdot 3^2 = 18 \).

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 18.