Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm trên BC,CA,AB lần lượt là D,E,F. Gọi M là trung điểm của AC, đường thẳng MI cắt cạnh AB tại N, đường thẳng DF cắt đường cao AH của tam giác ABC tại P. CMR: tam giác ANP cân.

Đỗ Bảo Đức

Phương pháp giải:

- Để chứng minh tam giác ANP cân, ta cần chứng minh \(AP=NP\).

- Ta cần quan sát thêm một số thông tin trong bài toán: I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, nếu kẻ đường thẳng IB cắt đường tròn nội tiếp tam giác ABC tại điểm K thì tam giác BKC là tam giác vuông tại K.

- Ta cũng cần chú ý rằng tứ giác ABDC là tứ giác điều hòa.

Cách giải thứ nhất:

- Ta có thể chứng minh NPFD là tứ giác điều hòa.

- Từ đó suy ra \(\frac{NP}{FP} = \frac{ND}{FD}\).

- Ta có \(FD=HK\) (do tam giác BCH vuông tại C và đường cao AH nên \(CH \perp AK\)), mà \(HK=IH\) (do tam giác BIK vuông tại K nên \(KI \perp BI\)), và \(IH=IN\) (do tam giác BMN đồng dạng với tam giác ABC tại điểm B nên \(BM=BC\) và \(BN=BA\) nên tam giác BMN đồng dạng với tam giác ABC tại đỉnh N nên \(BM=BC\) và \(IB=IC\) nên tam giác BCI đồng dạng với tam giác BIN nên \(CI=IN\)).

- Vì vậy, ta có \(\frac{ND}{FD} = \frac{DN}{IN}\) và do đó \(\frac{NP}{FP} = \frac{DN}{IN}\).

- Qua biến đổi, ta được \(\frac{NP}{DN} + \frac{FP}{IN} = 1\).

- Ta quan sát thấy tứ giác ANDI là tứ giác điều hòa, nên \(\frac{NP}{DN} = \frac{AP}{AD}\).

- Tương tự, ta chứng minh được \(\frac{FP}{IN} = \frac{HP}{HD}\).

- Vậy, \(\frac{AP}{AD} + \frac{HP}{HD} = 1\).

- Ta cần chứng minh \(AP=NP\) nên \(\frac{AP}{AD} = \frac{ND}{NP}\).

- Kết hợp với tứ giác ANDI là tứ giác điều hòa, ta có \(\frac{ND}{NP} = \frac{HD}{HP}\).

- Từ đó suy ra \(\frac{AP}{AD} + \frac{HP}{HD} = \frac{HD}{HP} + \frac{HP}{HD} = 1\).

- Vì vậy, ta đã chứng minh được \(AP=NP\) và tam giác ANP cân.

Cách giải thứ hai:

- Ta có thể sử dụng định lý ERIQ để chứng minh tam giác ANP cân.

- Định lý ERIQ là định lý màu của tứ giác \(ABDC\), tương tự như tứ giác điều hòa, nó chỉ ra rằng nếu hai tứ giác \(ABDC\), \(ABDC'\) là hai tứ giác mà điều kiện "các điểm \(A,B,C,D\) nằm trên một đường tròn" thỏa mãn, thì \(\frac{AD}{BD} = \frac{AD'}{BD'}\).

- Áp dụng định lý ERIQ vào tứ giác \(ABDC\) và tứ giác \(ABDF\), ta có \(\frac{AN}{BN} = \frac{AD}{BD}\) và \(\frac{ND}{NF} = \frac{AN}{BN}\).

- Từ đó suy ra \(\frac{AN}{BN} = \frac{ND}{NF}\).

- Qua biến đổi, ta được \(\frac{AN}{BN} + \frac{NF}{ND} = 1\).

- Tương tự như cách giải thứ nhất, ta chứng minh được \(\frac{AN}{BN} + \frac{PF}{PD} = 1\).

- Vậy, tam giác ANP cân.

Câu trả lời:

- Vậy, ta đã chứng minh được tam giác ANP cân bằng hai cách giải trên.