Cho tam giác ABC . Gọi M , N , P là 3 điểm thoả mãn vecto MC = 1/3 vecto MB , vecto NA + 3 vecto NC = 0 , vecto PA + vecto PB = 0 a ) Biểu diễn vecto MP , vecto NP theo hai vecto AB và AC b ) Chứng minh 3 điểm M , N, P thẳng hàng
Trời ơi, mình hoàn toàn mắc kẹt! Ai đó có thể cứu mình khỏi tình thế này bằng cách chỉ cho mình cách trả lời câu hỏi này được không ạ? Thanks mọi người

Để giải câu hỏi trên, ta thực hiện như sau:

a) Biểu diễn vecto MP, vecto NP theo hai vecto AB và AC:

Đặt $\overrightarrow{MP} = m\overrightarrow{AB} + n\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{NP} = p\overrightarrow{AB} + q\overrightarrow{AC}$.

Ta có:
$\overrightarrow{MC} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{MB} \Rightarrow \overrightarrow{MC} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{MA} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$
$\Rightarrow \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{AC} + 3\overrightarrow{NC} = 0$
$\Rightarrow \overrightarrow{AC} + 3(\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{PC}) = 0$
$\Rightarrow \overrightarrow{AC} + 3m\overrightarrow{AB} + 3n\overrightarrow{AC} = 0$
$\Rightarrow (3m-1)\overrightarrow{AB} + (3n+1)\overrightarrow{AC} = 0$
$\Rightarrow 3m-1 = 0$ và $3n+1 = 0$
$\Rightarrow m = \dfrac{1}{3}$ và $n = -\dfrac{1}{3}$

Tương tự, ta tính được $p = -\dfrac{2}{3}$ và $q = \dfrac{2}{3}$

Vậy $\overrightarrow{MP} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{NP} = -\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.

b) Ta có điều cần chứng minh là 3 điểm M, N, P thẳng hàng.

Do $\overrightarrow{MP} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{NP} = -\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$, ta có thể thấy được rằng tổ hợp tuyến tính giữa 2 vecto $\overrightarrow{MP}$ và $\overrightarrow{NP}$ cũng có dạng $\alpha\overrightarrow{AB} + \beta\overrightarrow{AC}$.

Do đó, ta có thể kết luận rằng 3 điểm M, N, P thẳng hàng.

Vậy đây là phương pháp giải và câu trả lời cho câu hỏi.

b) Ta có vecto NA + 3 vecto NC = 0 => vecto NA = -3 vecto NC. Khi thay công thức này vào vecto PA + vecto PB = 0 và giải phương trình, ta suy ra vecto PB = 3 vecto NC. Như vậy, 3 điểm M, N, P thẳng hàng do đồng quy.

a) Xét tam giác ABC, áp dụng định lí chia tỷ lệ với đường thẳng song song với một cạnh tam giác, ta có M là trọng tâm của tam giác ABC với tỷ lệ 1/3. Từ đó, vecto MP = 2/3 vecto MB = 2/3 vecto AB, vecto NP = 3/4 vecto NC = 3/4 vecto AC.

b) Ta có vecto NA + 3 vecto NC = 0 => vecto NA = -3 vecto NC. Thay A = (-3 vecto NC) vào vecto PA + vecto PB = 0 => vecto P(-3 vecto NC) + vecto PB = 0 => vecto PB = 3 vecto NC. Từ đây suy ra 3 điểm M, N, P thẳng hàng.

a) Gọi vecto AB = a và vecto AC = b. Ta có: vecto MC = 1/3 vecto MB => vecto MC = 1/3a. Do đó, vecto MP = vecto MC - vecto CP = 1/3a - (-1/3)a = 2/3a. Tương tự, vecto NP = 3/4b.