Cho tam giác $A B C$ có 3 góc nhọn nội tiếp dường tròn $(O)(A B<A C$ ). Gọi $D$ là điểm trên cung nhỏ $B C$ sao cho $D B<D C$. Từ $D$ kẻ $D E$ vuông góc với $B C$ (E thuộc $B C$ ), kẻ $D F$ vuông góc vổ $A C$ (F thuộc $A C$ ). Đường thẳng $E F$ cắt tia $A B$ tại $K$. a) Chứng minh tứ giảc CDEF nội tiếp và $\widehat{ D F E}=\widehat{D A B} $. b) Chứng minh tứ giác $D K B E$ nội tiếp và $D B \cdot D F=D A \cdot D E$. c) Gọi I, J lần lượt là trung diểm của $A B, E F$. Chứng minh $I J$ vuông góc vởi $D J$.  
Có ai đó ở đây đã từng trải qua câu hỏi tương tự này chưa ạ và có thể chia sẻ kinh nghiệm hoặc đưa ra lời khuyên cho mình không ạ?

Để giải câu hỏi này, ta sử dụng một số kiến thức về hình học học lớp 9.

a) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp:
Sử dụng tính chất góc ở nửa mặt cầu, ta có 2 góc nội tiếp tương ứng:
$\widehat {BEC} = \widehat {BOC}$ và $\widehat {BDF} = \widehat {BAC}$
$\Rightarrow \widehat {BEC} + \widehat {BDF} = \widehat {BOC} + \widehat {BAC} = 180^{\circ}$
Do đó, tứ giác CDEF nội tiếp.

Sử dụng tính chất góc chứng minh, ta có:
$\widehat {DFE} = 180^{\circ} - \widehat {DFC} = 180^{\circ} - \widehat {BAC} = \widehat {DAB}$
Vậy $\widehat {DFE} = \widehat {DAB}$.

b) Chứng minh tứ giác DKB nội tiếp và $DB \cdot DF = DA \cdot DE$:
Sử dụng tính chất góc tương ứng, ta có:
$\widehat {KDB} = \widehat {EAB}$ và $\widehat {KBD} = \widehat {EAD}$
$\Rightarrow \widehat {KDB} + \widehat {KBD} = \widehat {EAB} + \widehat {EAD} = 180^{\circ}$
Do đó, tứ giác DKB nội tiếp.

Sử dụng tính chất hai tam giác đồng dạng, ta có:
$\dfrac {DB}{DA} = \dfrac {BD}{DE}$ và $\dfrac {DK}{DE} = \dfrac {KB}{BA}$
$\Rightarrow DB \cdot DF = \dfrac {BD}{DE} \cdot \dfrac {DK}{DE} \cdot DE^2 = \dfrac {BD \cdot DK}{BA} \cdot DE^2$
$\Rightarrow DB \cdot DF = \dfrac {BD \cdot DK}{BA} \cdot DE$
Và vì tứ giác DKB nội tiếp, nên ta có:
$DB \cdot DK = DA \cdot DB$
$\Rightarrow DB \cdot DF = \dfrac {DA \cdot DB}{BA} \cdot DE = DA \cdot DE$

Vậy ta có: $DB \cdot DF = DA \cdot DE$.

c) Chứng minh IJ vuông góc với DJ:
Gọi G là giao điểm của AC và BD.
Vì I và J lần lượt là trung điểm của AB và EF, nên ta có:
$\dfrac {AJ}{AB} = \dfrac {1}{2}$ và $\dfrac {JE}{EF} = \dfrac {1}{2}$
$\Rightarrow \dfrac {AJ}{AB} = \dfrac {JE}{EF}$
Sử dụng tính chất đồng dạng, ta có:
$\triangle AJE \sim \triangle BFE$
$\Rightarrow \widehat {AJE} = \widehat {BFE}$

Tương tự, ta có:
$\triangle IJD \sim \triangle GFD$
$\Rightarrow \widehat {IJD} = \widehat {GFD}$

Do đó, ta có: $\widehat {AJE} = \widehat {BFE} = \widehat {GFD} = \widehat {IJD}$
Vậy IJ vuông góc với DJ.

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Tóm lại, câu trả lời cho câu hỏi trên:
a) Tứ giác CDEF là nội tiếp và $\widehat {DFE} = \widehat {DAB}$.
b) Tứ giác DKB là nội tiếp và $DB \cdot DF = DA \cdot DE$.
c) IJ vuông góc với DJ.

c) Chứng minh IJ vuông góc với DJ:

Ta có I là trung điểm của AB và J là trung điểm của EF.
Vì AE song song với BC nên IJ song song với BC.
Vì DJ là đường cao của tam giác DKF nên IJ vuông góc với DJ.

b) Chứng minh tứ giác DKBE nội tiếp và DB * DF = DA * DE:

Ta có ∠DKB = ∠DFE (do DK và EF cắt nhau tại K)
Ta có ∠DBK = ∠DAC (cùng nằm trên cung còn lại)
Ta có ∠EBK = 180° - ∠EBC = ∠BAC (do AB và EF song song)

Từ đó, tứ giác DKBE nội tiếp.

Do ∠DKB = ∠DFE và ∠DBK = ∠DAC nên tứ giác DKBE và tứ giác CDEF có cùng hai góc tương đương kề nên tỉ lệ bằng nhau.

Theo định lí tỉ lệ cung:
DB * DF = DA * DE.

a) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp và ∠DFE = ∠DAB:

Ta có ∠DFE = 90° (do DE vuông góc với BC)
Ta có ∠DAB = 180° - ∠DAC - ∠CAB = 180° - ∠DFC - ∠CAB = ∠EFC (do ∠DFC = ∠EFC)

Do đó, ∠DFE = ∠DAB.