cho số thực dương a và b thoả mãn a100+b100 = a101+b101=a102+b102 tính a2022+b2023
Bạn nào ở đây biết về cái này có thể giúp mình một chút không? Mình đang cực kỳ cần sự hỗ trợ!

Lời giải:

$a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}$

$\Rightarrow (a^{101}+b^{101})^2=(a^{100}+b^{100})(a^{102}+b^{102})$

$\Rightarrow a^{202}+b^{202}+2a^{101}.b^{101}=a^{202}+b^{202}+a^{100}b^{102}+a^{102}b^{100}$

$\Rightarrow 2a^{101}b^{101}=a^{100}b^{102}+a^{102}b^{100}$

$\Rightarrow a^{100}b^{100}(a^2+b^2-2ab)=0$

$\Rightarrow a^{100}b^{100}(a-b)^2=0$

$\Rightarrow a=0$ hoặc $b=0$ hoặc $a=b$

Nếu $a=0$ thì:

$b^{100}=b^{101}=b^{102}$

$\Rightarrow b^{100}(b-1)=0$

$\Rightarrow b=0$ hoặc b=1$ (đều tm) 

$\Rightarrow a^{2022}+b^{2023}=0$ hoặc $1$

Nếu $b=0$ thì tương tự, $a=0$ hoặc $a=1$

$\Rightarrow a^{2022}+b^{2023}=0$ hoặc $1$

Nếu $a=b$ thì thay $a=b$ vào điều kiện đề thì:

$2b^{100}=2b^{101}=2b^{102}$

$\Rightarrow b^{100}=b^{101}=b^{102}$

$\Rightarrow b^{100}(b-1)=0$

$\Rightarrow b=0$ hoặc $b=1$ (đều tm) 

Nếu $a=b=0\Rightarrow a^{2022}+b^{2023}=0$

Nếu $a=b=1\Rightarrow a^{2022}+b^{2023}=2$

Vậy $a^{2022}+b^{2023}$ có thể nhận giá trị $0,1,2$