Cho sinx + cosx = \(\sqrt{2}\) Chứng minh : Sin x = Cos x
Làm ơn giúp mình với! Mình cần tìm câu trả lời cho một câu hỏi mình đã mất nhiều thời gian suy nghĩ mà chưa ra. Cảm ơn rất nhiều!

Phương pháp giải:

Ta có:
sinx + cosx = √2

Bình phương cả hai vế ta được:
(sin x + cos x)^2 = 2
sin^2x + 2sinxcosx + cos^2x = 2
sin^2x + cos^2x + 2sinxcosx = 2

Vì sin^2x + cos^2x = 1, nên:
1 + 2sinxcosx = 2
2sinxcosx = 1
sin 2x = 1

Vì -1 ≤ sin 2x ≤ 1, nên
2x = π/2

Vậy x = π/4 hoặc x = 5π/4.

Do đó, ta có Sin x = Cos x khi x = π/4 hoặc x = 5π/4.

Một cách khác, ta có thể biểu diễn sinx và cosx bằng hàm số e^ix: sinx = (e^(ix) - e^(-ix))/(2i), cosx = (e^(ix) + e^(-ix))/2. Thay vào phương trình sinx + cosx = √2 và giải phương trình, ta sẽ tìm được giá trị của x và kết luận được sinx = cosx.

Ta có thể áp dụng công thức đổi hệ sin, cos thành hệ tan: sinx = 2tanx/(1 + tan^2x), cosx = (1 - tan^2x)/(1 + tan^2x). Thay vào phương trình sinx + cosx = √2 và giải phương trình, ta sẽ thu được giá trị của x và suy ra sinx = cosx.

Cách khác, ta có thể chia cả 2 vế của phương trình cho cosx, ta được: sinx/cosx + 1 = √2/cosx. Tính toán biểu thức sinx/cosx, ta có: tanx + 1 = √2/tanx. Giải phương trình này ta sẽ thu được giá trị của tanx, sau đó suy ra sinx = cosx.

Bằng cách bình phương cả 2 vế của phương trình sinx + cosx = √2, ta được: (sinx + cosx)^2 = (√2)^2 => sin^2x + 2sinxcosx + cos^2x = 2 => sin^2x + cos^2x + 2sinxcosx = 2. Vì sin^2x + cos^2x = 1 (theo công thức cos^2x + sin^2x = 1), nên ta có: 1 + 2sinxcosx = 2 => 2sinxcosx = 1 => sinxcosx = 1/2. Do đó, ta suy ra sinx = cosx.