Cho pt : x^2+(m+2)x+m-1=0. chứng minh rằng pt đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1;x2 với mọi m. Khi đó, tìm m để biểu thức A=x1^2+x2^2-3x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất.  
Mình đang tìm kiếm một người hùng có thể cứu mình khỏi tình trạng này bằng cách trả lời câu hỏi của mình. Ai đó lên tiếng nhé!

Để chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt, ta đặt Δ = (m+2)^2 - 4(m-1) = m^2 + 4m + 4 - 4m + 4 = m^2 + 8 > 0 với mọi m.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x1^2 + x2^2 - 3x1x2, ta có thể sử dụng phương pháp đặt một biến.

Gọi tổng hai nghiệm là S = x1 + x2 và tích hai nghiệm là P = x1*x2

Ta biết rằng: x1^2 + x2^2 = S^2 - 2P và x1*x2 = P

Như vậy, A = S^2 - 2P - 3P = S^2 - 5P

Từ phương trình đã cho x^2 + (m+2)x + m - 1 = 0, ta có hệ số của x là m+2 và m-1 nên ta có S = - (m+2) và P = m-1

Khi đó, A = (-m-2)^2 - 5(m-1) = m^2 + 4m + 4 - 5m + 5 = m^2 - m + 9

Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số A = m^2 - m + 9

Hàm số trên là hàm bậc hai nên điểm cực tiểu của nó xảy ra tại m = -b/2a = 1/2

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là Amin = (-1/2)^2 - (-1/2) + 9 = 25/4

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 25/4.

Từ đó, ta sẽ tìm được giá trị m để biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất.

Đặt f(m) = x1^2 + x2^2 - 3x1x2, ta cần giải pt f'(m) = 0 để tìm điểm cực tiểu của hàm số f(m).

Để tìm m để biểu thức A = x1^2 + x2^2 - 3x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần sử dụng quy tắc đạo hàm để tìm điểm cực tiểu.

Vậy nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 với mọi m.