Cho phương trình: x2 - 2(m-1)x + m - 5 = 0 1) Chứng minh rằng với mọi m phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt 2) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm mà hiệu của chúng bằng 3
Mình đây, cần một chuyên gia tốt bụng giải cứu ngay lập tức! Có ai có câu trả lời đầy đủ cho câu hỏi này, mình xin trả lời ngược câu hỏi của Mọi người!

Phương pháp giải:

1) Để chứng minh rằng với mọi m, phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt, ta xét Δ = b^2 - 4ac
Trong đó a = 1, b = -2(m-1), c = m - 5
Δ = (-2(m-1))^2 - 4*1*(m-5) = 4(m^2 - 2m + 1) - 4m + 20 = 4(m^2 - 2m + 1 - 1) + 20 = 4m^2 - 8m + 4 + 20 = 4m^2 - 8m + 24
Δ = 4(m^2 - 2m + 6)

Vì m^2 - 2m + 6 luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi m, nên Δ luôn lớn hơn hoặc bằng 0.
Do đó, phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

2) Để tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm và hiệu của chúng bằng 3, ta có:
Nhập Δ = 0 => 4(m^2 - 2m + 6) = 0 => m^2 - 2m + 6 = 0

Giải phương trình trên ta được m = 1 ± 7i

Do đó, không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu của câu hỏi.

5) Một cách khác để tìm m là bằng cách sử dụng đạo hàm của phương trình. Khi phương trình có 2 nghiệm và hiệu của chúng bằng 3, ta có điều kiện rằng đạo hàm của phương trình cũng có 2 nghiệm. Áp dụng vào phương trình đã cho và tính toán, ta tìm được m = 7 là giá trị thỏa mãn điều kiện trên.

4) Để tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm và hiệu của chúng bằng 3, ta có thể sử dụng phương pháp cố định hiệu của 2 nghiệm và tìm m thỏa mãn điều kiện đó. Như vậy, ta cần giải phương trình hệ {x1 * x2 = m-5, x1 - x2 = 3} với x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình đã cho. Từ đó suy ra m = 7.

3) Để chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m, ta cũng có thể sử dụng phương pháp đặt một số cố định cho m và chứng minh Δ luôn lớn hơn 0. Giả sử m = k, ta tính Δ = k^2 - 6k + 21. Bằng cách giải phương trình Δ > 0, ta chứng minh rằng với mọi m, phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

2) Để tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm mà hiệu của chúng bằng 3, ta dựa vào số nghiệm của phương trình bậc 2 khi đã biết Δ. Theo đề bài, ta cần tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm và hiệu của chúng bằng 3. Điều này xảy ra khi ta giải hệ phương trình {x1 + x2 = -b/a, x1 * x2 = c/a} với a = 1, b = -2(m-1), c = m-5 và x1 - x2 = 3. Qua giải hệ, ta tìm được m = 1 hoặc m = 7.