Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài. B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật. b) ME.MO = MF.MO’ c) OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC. d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO’.

Đỗ Văn Long

Để giải câu hỏi này, ta có thể làm theo các bước sau:

a) Chứng minh tứ giác AEMF là hình chữ nhật:
- Ta có ME // AB và MF // AC (do OME và O'MF là tam giác đều).
- Khi đó, tứ giác AEMF là hình bình hành vì cặp cạnh đối của nó đều song song.

b) Chứng minh ME.MO = MF.MO’:
- Ta có tứ giác AEMF là hình chữ nhật (theo phần a).
- Do đó, AE = MF và AM = ME.
- Khi đó, ta có ME.MO = AE.AM = MF.MO’.

c) Chứng minh OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC:
- Gọi N là giao điểm của OO’ và BC.
- Ta có tứ giác OMBN là tứ giác hình vuông vì OM // BN và OB = MB (đều bằng bán kính đường tròn (O)).
- Do đó, BN là đường phân giác của góc OBM.
- Tương tự, ta có tứ giác O'MCN là tứ giác hình vuông.
- Vậy, BN = CN và O'N là đường phân giác của góc MCO'.

d) Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO’:
- Gọi K là giao điểm của BC và OO’.
- Ta thấy rằng K phải trùng với N vì hình chữ nhật OMBN và O'MCN đã được chứng minh.
- Do đó, BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO’.

Vậy, ta đã chứng minh được các phần a), b), c) và d) của câu hỏi.