Cho dãy số (Un) xác định bởi: {U1=2; Un+1= 2Un + 3.2^n+1;∀n ϵ N* Tính lim Un/(2n + 1).2^n-1 Ai đó giải bài tập giúp em với ạ, em cảm ơn rất nhiều  
Mọi người ơi, mình đang vướng mắc một chút, có ai có kinh nghiệm có thể chỉ giáo mình cách giải quyết câu hỏi này không?

Phương pháp giải:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh bằng quy nạp.

Câu trả lời:
Để tính giới hạn lim (Un/(2n + 1).2^n-1) khi n tiến đến vô cùng, ta xét cận dưới và cận trên của dãy Un/(2n + 1).2^n-1.

Với n=1, ta có:
U2 = 2U1 + 3.2^2 = 13
Vậy U2/(2^2+1).2^(2-1) = 13/10 = 1.3

Giả sử đúng với n=k (k>=1), tức là lim (Uk/(2k + 1).2^k-1) = 1.3

Ta cần chứng minh nếu đúng với n=k+1, tức là lim (U(k+1)/(2k + 3).2^k) = 1.3

Theo công thức đã cho ta có:
U(k+1) = 2Uk + 3.2^(k+1)
Đổi mẫu số bằng cách nhân và chia bởi 2:
U(k+1) = (2Uk + 3.2^(k+1)) * 2/2 = (4Uk + 6.2^(k+1))/2 = 2(2Uk + 3.2^k)/2 = 2Uk + 3.2^k

Lim (U(k+1)/(2k + 3).2^k) = (2Uk + 3.2^k)/((2k + 1).2^k) = (2Uk/2^k + 3) / (2k + 1)

Áp dụng giả sử đúng với n=k (công thức cần chứng minh):
Lim (U(k+1)/(2k + 3).2^k) = (2Uk/2^k + 3) / (2k + 1) = (1.3 + 3) / (2k + 1) = 6 / (2k + 1)

=> Lim (U(k+1)/(2k + 3).2^k) = 6 / (2k + 1)

Vậy ta có thể kết luận rằng lim (Un/(2n + 1).2^n-1) = 1.3, với mọi n thuộc N*.

Another possible answer could be: To solve this problem, we can use induction. First, we can prove that U(n) = 2^n + n. We start with the base case U(1) = 2^1 + 1 = 3. Now assume that U(k) = 2^k + k is true, then U(k+1) = 2U(k) + 3.2^(k+1) = 2(2^k + k) + 3.2^(k+1) = 2^(k+1) + 2k + 3.2^(k+1) = 2^(k+1) + k + 2(k+1) = 2^(k+1) + (k+1). Therefore, the formula U(n) = 2^n + n holds for all positive integers n. Now, we can find the limit of U(n)/(2n + 1).2^(n-1) as n approaches infinity. Using the formula U(n) = 2^n + n, we have lim (U(n)/(2n + 1).2^(n-1)) = lim ((2^n + n)/(2n + 1).2^(n-1)) = lim ((2^n(1 + (n/2^n))) / (2n(1 + 1/(2^n)))). As n approaches infinity, n/2^n approaches 0 and 1/(2^n) approaches 0. Therefore, the limit is equal to lim (2^n/2n) = lim (2^(n-1)/(2^(n-1)n)) = lim (1/n) = 0.

Bây giờ, ta tính giới hạn lim Un/(2n + 1).2^n-1. Đầu tiên, lấy tỉ lệ giữa Un và 2n + 1.2^(n-1), ta có (Un/(2n + 1).2^n-1) = (2^(n-1) + (n-1)*3*2^n)/(2n + 1) + 2^n-1. Khi n tiến tới vô cùng, mẫu số 2n + 1 cũng tiến tới vô cùng và với mũ số 2^n-1, ta có thể bỏ đi. Vậy, giới hạn của Un/(2n + 1).2^n-1 khi n tiến tới vô cùng là 2.

Đầu tiên, ta tìm công thức tổng quát của dãy số (Un). Với Un+1 = 2Un + 3.2^n+1, ta thấy rằng mỗi số tiếp theo trong dãy đều được tính dựa trên số trước đó. Vậy, công thức tổng quát của dãy số là: Un = 2^(n-1) + (n-1)*3*2^n, với n là số thứ tự của số Un trong dãy.