Cho a lớn hơn hoặc bằng 1 b lớn hơn hoặc bằng 1 chứng minh rằng a căn của B - 1 + b căn của A trừ 1 bé hơn hoặc bằng AB
Ai đó ơi, giúp mình với! Mình đang trong tình thế khó xử lắm, mọi người có thể góp ý giúp mình vượt qua câu hỏi này được không?

Phương pháp giải:

Ta có điều kiện a ≥ 1 và b ≥ 1.

Giả sử a căn của B - 1 + b căn của A - 1 > AB.

Khi đó, ta có: √B + √A > AB + 2

=> √B - AB > 2 - √A

=> B - 2√BA + A > 4 - A

=> B + A > 2√BA + 4

Ta có B + A = ( √B + √A )^2 ≥ (2√BA)^2

=> B + A ≥ 4BA

Như vậy, ta đã chứng minh được điều phải chứng minh.

Vậy a căn của B - 1 + b căn của A - 1 ≤ AB.

Câu trả lời cho câu hỏi là: a căn của B - 1 + b căn của A - 1 ≤ AB.

Sử dụng định lí Cauchy–Schwarz: (a^2 + b^2)(1^2 + 1^2) >= (a + b)^2 => a^2 + b^2 >= (a + b)^2 / 2. Áp dụng vào công thức cho ra kết quả cần chứng minh khi a >= 1, b >= 1.

Áp dụng công thức tiến hóa: Ta có căn của A - 1 + b căn của B >= căn của AB - 1 + căn của BA - 1 >= AB - 1 + BA - 1 >= AB khi a >= 1, b >= 1.

Áp dụng công thức AM-GM (Bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình bình phương): Ta có căn của A + căn của B >= 2 căn của AB >= 2AB - 2 >= AB - 1 + b căn của A - 1 khi a >= 1, b >= 1.